Lineære likninger med absoluttverdi

Absoluttverdi er en funksjon som ikke endrer et ikke-negativt tall, og som gjør et negativt tall om til et positivt. Absoluttverdi kan dukke opp når vi løser lineære likninger.

Repetisjon

La oss minne oss på hvordan absoluttverdi regnes ut og skrives. Uttrykket i absoluttverdi skriver vi med loddrette streker slik: |a|. Vi sier «absoluttverdien av tallet a». Da gjelder at absoluttverdien av et ikke-negativt tall er det samme tallet. Eksempler: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Absoluttverdien av et negativt tall er derimot et positivt tall: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Absoluttverdien av null er null.

Et enkelt eksempel

Et eksempel på en enkel lineær likning med absoluttverdi er likningen: |x| = 3. Spørsmålet nå er når absoluttverdien gir oss tre som resultat. Det blir to x-verdier — én positiv og én negativ, så likningen har to løsninger. Den første er x₁ = 3, fordi |3| = 3. Den andre løsningen er x₂ = −3, fordi |−3| = 3.

La oss endre likningen og gjøre den vanskeligere. |2x + 1| = 5 Inni absoluttverdien har vi nå et mer sammensatt uttrykk. Men vi kan gå fram helt på samme måte som nettopp. Hvilke tall har absoluttverdi lik fem? Igjen 5 og −5. Hva følger av det? At innmaten i absoluttverdien, altså uttrykket 2x + 1, må være lik fem eller minus fem. Bare da har likningen løsning. Vi løser altså likningene 2x + 1 = 5 og 2x + 1 = −5. Likningene løser vi som vanlige lineære likninger. Vi får:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

Og den andre løsningen:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Vi har altså to løsninger: x₁ = 2 og x₂ = −3. Vi kan prøve å sette dem inn i den opprinnelige likningen. For x = 2 får vi: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, og for x = −3 har vi: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Fjerne absoluttverdien

Den forrige framgangsmåten er imidlertid vanskelig å bruke når du har en mer sammensatt likning. For eksempel denne:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Her har vi to uttrykk i absoluttverdi, og da må vi velge en annen framgangsmåte. Først et litt enklere eksempel: Hva gjelder for uttrykket |x − 2| hvis vi tar x fra intervallet ⟨2, → ⟩? Uttrykket i absoluttverdien vil alltid være positivt. Hvis vi setter inn for eksempel tre, får vi: 3 − 2 = 1. Hvis vi setter inn ti, har vi: 10 − 2 = 8 osv. For ethvert tall fra dette intervallet er uttrykket i absoluttverdien positivt. Hvordan påvirker absoluttverdien verdien da? Ikke i det hele tatt. Dette er en viktig innsikt. Hvis uttrykket under absoluttverdien alltid er positivt, kan vi fjerne absoluttverdien — den er overflødig. Hvis vi tar x fra intervallet ⟨2, → ⟩, gjelder likheten |x − 2| = x − 2 (altså har vi fjernet absoluttverdien).

Og nå et motsatt eksempel — hva om vi tar x fra intervallet ⟨ ← , 2⟩? Hva blir verdien av uttrykket i absoluttverdien, altså verdien av uttrykket x − 2? Den blir alltid negativ! Vi prøver å sette inn én: 1 − 2 = −1 eller null: 0 − 2 = −2. Hva gjør absoluttverdien med denne verdien? Den snur den til positiv form, endrer fortegnet. Fortegnsendringen kan vi gjøre ved å gange med minus én, siden 5 · (−1) = −5, men også −7 · (−1) = 7 og −15 · (−1) = 15.

Hvis vi altså tar x fra intervallet ⟨ ← , 2⟩, vil uttrykket i absoluttverdien alltid være negativt, og absoluttverdien virker og endrer fortegnet på uttrykket — ganger det med −1. Vi kan derfor skrive at for x fra ⟨ ← , 2⟩ gjelder likheten: |x − 2| = −(x − 2). La oss prøve å sette inn for eksempel null. Først i uttrykket med absoluttverdi: |0 − 2| = |−2| = 2 og nå på høyre side: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Som du ser, lar slike intervaller oss dele et uttrykk med absoluttverdi i to ulike uttrykk, som vi kan løse helt hver for seg. Det er en fordel. Spørsmålet som gjenstår, er hvordan vi finner disse intervallene.

Nullpunktmetoden

Når endret uttrykket x − 2 fortegn? Fra den forrige delen vet vi at i hele intervallet ⟨ ← , 2⟩ er uttrykket negativt, og i hele intervallet ⟨2, → ⟩ er det positivt. Hva er det i punktet x = 2? Ved innsetting finner vi at 2 − 2 = 0, altså null. Det er ikke tilfeldig. Grunnen ser vi best på grafen til en lineær funksjon:

Grafen til en lineær funksjon er en rett linje, den kan bare skjære x-aksen én gang, og når den skjærer x-aksen, endrer den fortegn. Derfor gjelder at hvis en lineær funksjon skjærer x-aksen i punktet a, har den i intervallet ⟨ ← , a⟩ et annet fortegn enn i intervallet ⟨a, → ⟩.

Derfor holder det, når vi leter etter intervaller der en lineær funksjon er positiv og der den er negativ, å finne det såkalte nullpunktet, altså punktet x₀ der den lineære funksjonen f har funksjonsverdien null: f(x₀) = 0. Hvis vi leter etter intervaller der uttrykket x − 2 er positivt, løser vi først likningen x − 2 = 0. Løsningen er x = 2. Så kan vi lage intervallene: ⟨ ← , 2⟩ og ⟨2, → ⟩. I disse intervallene løser vi så likningen videre, men nå med absoluttverdien fjernet.

Endelig tilbake til eksempelet …

For mange linjer siden satte vi opp eksempelet:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Hvordan løser vi det? Først finner vi nullpunktene til hvert uttrykk under absoluttverdi, altså for uttrykkene 4x + 2 og x − 1. Uttrykket 4x + 2 har nullpunktet $x=-\frac{1}{2}$, og uttrykket x − 1 har nullpunktet x = 1. Siden vi har to nullpunkter, får vi til sammen tre intervaller. Hvert nullpunkt deler intervallet ⟨ ← , → ⟩ på en bestemt måte. Vi får altså intervallene $⟨\leftarrow ,-\frac{1}{2}⟩$, $[-\frac{1}{2},1]$ og ⟨1, → ⟩. Intervallene velger vi alltid slik at vi dekker hele intervallet ⟨ ← , → ⟩.

I neste steg må vi finne ut om uttrykkene er positive eller negative i de gitte intervallene. Til det bruker vi en tabell:

$$\begin{array}{cccc}x& ⟨\leftarrow ,-\frac{1}{2}⟩& [-\frac{1}{2},1]& ⟨1,\to ⟩\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Tegnet minus − betyr at uttrykket er negativt i det aktuelle intervallet, tegnet pluss + betyr at det er positivt. Hvordan kom vi fram til det? Vi satte inn et vilkårlig tall fra intervallet. I det midterste intervallet kunne vi for eksempel sette inn null, som er enklest å regne med. Da får vi for uttrykket 4x + 2 at 4 · 0 + 2 = 2, og for x − 1 har vi 0 − 1 = −1.

Tips: Hvis uttrykket er negativt i det første intervallet og positivt i det neste, vil det være positivt også i alle eventuelle videre intervaller. En lineær funksjon kan ikke skifte fortegn to ganger, se bildet ovenfor med grafen til en lineær funksjon.

Nå vet vi i hvilke intervaller hvilke uttrykk som er positive eller negative. Den videre utregningen må deles i tre trinn, vi må løse for hvert intervall for seg.

Første intervall, altså x tar vi fra $⟨\leftarrow ,-\frac{1}{2}⟩$. I dette intervallet er begge uttrykkene negative, så hvis vi vil fjerne absoluttverdien, må begge uttrykkene skifte fortegn. I dette intervallet løser vi altså likningen:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Denne likningen løser vi bare enkelt med ekvivalente omforminger:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Vær oppmerksom på at vi må sjekke om løsningen ligger i intervallet vi beveger oss i. Vi antar nemlig nå at vi tar x fra intervallet $⟨\leftarrow ,-\frac{1}{2}⟩$, så hvis vi hadde fått en løsning som ikke ligger i det intervallet, kan vi ikke bruke den. Minus sju femdeler ligger i intervallet $⟨\leftarrow ,-\frac{1}{2}⟩$, så dette er en gyldig løsning av likningen.

Andre intervall, altså x tar vi fra $[-\frac{1}{2},1]$. I dette intervallet er uttrykket 4x + 2 positivt og uttrykket x − 1 fortsatt negativt. Vi løser altså likningen

$$4x+2-(x-1)=6$$

Igjen omformer vi enkelt:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Ligger løsningen i intervallet vi arbeider i? Ja, det gjør den. Vi har funnet en ny løsning av den lineære likningen.

Tredje intervall, altså intervallet ⟨1, → ⟩. I dette intervallet er begge uttrykkene positive, så vi kan fjerne absoluttverdien uten ytterligere endringer. Vi løser altså likningen:

$$4x+2+x-1=6$$

Denne likningen løser vi lett:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Vi fikk en ny løsning, den samme som i det forrige intervallet. Men er dette en gyldig løsning for intervallet vi arbeider i? Nei! Vi arbeider i det åpne intervallet ⟨1, → ⟩, én er ikke en del av dette intervallet, så den løsningen vi fant i dette tredje trinnet, kan vi ikke regne som en gyldig løsning.

Den lineære likningen med absoluttverdi har to løsninger, $L=\{-\frac{7}{5},1\}$.

Grafisk løsning

På samme måte som en vanlig lineær likning kan også denne løses grafisk. Til venstre har vi funksjonen f(x) = |4x + 2|+|x − 1| og til høyre g(x) = 6. Vi lar disse to grafene bli tegnet — de skjærer hverandre i to punkter. Førstekoordinatene til disse punktene er løsningene av likningen.

Løsningsmengden L inneholder dermed tallene $L=\{-\frac{7}{5},1\}$.