Équation du premier degré avec valeur absolue

La valeur absolue est une fonction qui ne modifie pas un nombre positif ou nul et qui transforme un nombre négatif en un nombre positif. La valeur absolue peut apparaître lors de la résolution d’équations du premier degré.

Rappel

Rappelons comment on calcule et écrit la valeur absolue. On écrit l’expression entre barres verticales ainsi : |a|. On dit « valeur absolue de a ». La valeur absolue d’un nombre positif ou nul est ce nombre lui-même. Exemples : |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. En revanche, la valeur absolue d’un nombre négatif est un nombre positif : $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. La valeur absolue de zéro est zéro.

Exemple simple

Un exemple d’équation du premier degré simple avec une valeur absolue est l’équation |x| = 3. La question est maintenant : quand la valeur absolue donne-t-elle comme résultat trois ? Il y aura deux valeurs de x, l’une positive et l’autre négative ; l’équation admet donc deux solutions. La première est x₁ = 3, car |3| = 3. La seconde solution est x₂ = −3, car |−3| = 3.

Essayons de compliquer l’équation : |2x + 1| = 5. À l’intérieur de la valeur absolue, on a maintenant une expression plus complexe. Mais on peut procéder exactement comme tout à l’heure. Quels nombres ont une valeur absolue égale à cinq ? Encore 5 et −5. Qu’est-ce que cela implique ? Que l’intérieur de la valeur absolue, c’est-à-dire l’expression 2x + 1, doit être égal à cinq ou à moins cinq. Ce n’est qu’à cette condition que l’équation a des solutions. On résout donc les équations 2x + 1 = 5 et 2x + 1 = −5. On les résout comme des équations du premier degré classiques. On obtient :

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

Et le second résultat :

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

On a donc deux résultats : x₁ = 2 et x₂ = −3. On peut les vérifier en les substituant dans l’équation initiale. Pour x = 2, on obtient : |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, et pour x = −3 : |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Suppression de la valeur absolue

Cette méthode est toutefois difficile à appliquer à une équation plus compliquée. Par exemple :

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Ici, nous avons déjà deux expressions en valeur absolue, il faut donc choisir une autre méthode. Commençons par un exemple un peu plus simple : que vaut l’expression |x − 2| lorsque x appartient à l’intervalle ]2 ; +∞[ ? L’expression entre les barres de valeur absolue sera toujours positive. Si nous remplaçons x par trois, nous obtenons : 3 − 2 = 1. Si nous remplaçons par dix, nous obtenons : 10 − 2 = 8, et ainsi de suite. Pour tout nombre de cet intervalle, l’expression sous la valeur absolue est positive. Alors, que fait la valeur absolue ? Rien du tout. C’est une remarque importante. Si l’expression sous la valeur absolue est toujours positive, on peut supprimer la valeur absolue : elle est inutile. Si x appartient à l’intervalle ]2 ; +∞[, alors on a l’égalité |x − 2| = x − 2 (autrement dit, nous avons supprimé la valeur absolue).

Et maintenant l’exemple inverse : que se passe-t-il si x appartient à l’intervalle ]−∞ ; 2[ ? Quelle est alors la valeur de l’expression sous la valeur absolue, c’est-à-dire celle de x − 2 ? Elle sera toujours négative ! Essayons en remplaçant x par un : 1 − 2 = −1, ou par zéro : 0 − 2 = −2. Que fait la valeur absolue avec cette valeur ? Elle la ramène sous forme positive, elle change son signe. On peut changer le signe en multipliant par moins un, car 5 · (−1) = −5, mais aussi −7 · (−1) = 7 et −15 · (−1) = 15.

Ainsi, pour x appartenant à ]−∞ ; 2[, l’expression sous la valeur absolue est toujours négative, et la valeur absolue agit alors en changeant son signe : elle la multiplie par −1. On peut donc écrire, pour x dans ]−∞ ; 2[, l’égalité |x − 2| = −(x − 2). Essayons d’y substituer par exemple zéro. D’abord dans l’expression avec valeur absolue : |0 − 2| = |−2| = 2, puis dans le membre de droite : −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Comme on le voit, de tels intervalles nous permettent de décomposer une expression avec valeur absolue en deux expressions différentes, que l’on peut résoudre séparément. C’est avantageux. Reste à savoir comment trouver ces intervalles ?

Disjonction de cas selon les zéros

Quand l’expression x − 2 change-t-elle de signe ? D’après la partie précédente, nous savons que sur tout l’intervalle ]−∞ ; 2[ l’expression est négative, et que sur tout l’intervalle ]2 ; +∞[ elle est positive. Et qu’en est-il au point x = 2 ? En remplaçant, on constate que 2 − 2 = 0 : l’expression est nulle. Ce n’est pas un hasard. La raison se voit le mieux sur le graphe de la fonction affine :

Le graphe d’une fonction affine est une droite ; elle ne peut couper l’axe des abscisses qu’une seule fois, et lorsqu’elle le coupe, elle change de signe. Ainsi, si la fonction affine coupe l’axe des abscisses au point a, elle aura un signe différent sur l’intervalle ]−∞ ; a[ et sur l’intervalle ]a ; +∞[.

Donc, pour trouver les intervalles où une fonction affine est positive ou négative, il suffit de chercher son zéro, c’est-à-dire le point x₀ pour lequel la fonction f prend la valeur zéro : f(x₀) = 0. Ainsi, si l’on cherche les intervalles où l’expression x − 2 est positive, on résout d’abord l’équation x − 2 = 0. Sa solution est x = 2. On peut alors former les intervalles ]−∞ ; 2[ et ]2 ; +∞[. Dans ces intervalles, on résout ensuite l’équation, mais cette fois sans valeur absolue.

Retour enfin à l’exemple…

Plus haut, nous avons défini l’exemple suivant :

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Comment le résoudre ? On commence par trouver les zéros de chaque expression sous la valeur absolue, c’est-à-dire pour 4x + 2 et x − 1. L’expression 4x + 2 a pour zéro $x=-\frac{1}{2}$, et l’expression x − 1 a pour zéro x = 1. Comme nous avons deux zéros, nous obtiendrons au total trois intervalles. Chaque zéro découpe d’une certaine manière l’intervalle ]−∞ ; +∞[. On obtient donc les intervalles $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$, $[-\frac{1}{2};1]$ et ]1 ; +∞[. On choisit toujours les intervalles de façon à recouvrir tout l’intervalle ]−∞ ; +∞[.

À l’étape suivante, il faut déterminer si les expressions sont positives ou négatives sur chacun de ces intervalles. Pour cela, on utilise le tableau suivant :

$$\begin{array}{cccc}x& ]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[& [-\frac{1}{2};1]& ]1;+\mathrm{\infty }[\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Le signe moins − indique que l’expression est négative sur l’intervalle considéré, le signe plus + qu’elle est positive. Comment l’avons-nous déterminé ? En remplaçant un nombre quelconque de l’intervalle. Par exemple, sur l’intervalle du milieu, on peut prendre zéro, ce qui est le plus simple à calculer. On obtient alors pour 4x + 2 : 4 · 0 + 2 = 2, et pour x − 1 : 0 − 1 = −1.

Astuce : si, dans le premier intervalle, l’expression est négative et qu’elle devient positive dans le suivant, alors elle restera positive dans tout intervalle suivant. Une fonction affine ne peut pas changer de signe deux fois, voir la figure ci-dessus représentant le graphe d’une fonction affine.

Nous savons maintenant, pour chaque intervalle, quelles expressions sont positives ou négatives. Notre calcul doit donc se diviser en trois étapes : il faut résoudre séparément dans chaque intervalle.

Premier intervalle, c’est-à-dire x pris dans $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$. Dans cet intervalle, les deux expressions sont négatives, donc pour supprimer la valeur absolue, les deux expressions doivent changer de signe. On résout donc dans cet intervalle l’équation :

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

On résout simplement cette équation à l’aide de transformations équivalentes :

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Attention : il faut vérifier que la solution appartient bien à l’intervalle dans lequel on travaille. En effet, nous supposons maintenant que x est pris dans $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$ ; si la solution obtenue n’appartient pas à cet intervalle, on ne peut donc pas la retenir. Moins sept cinquièmes se trouve dans l’intervalle $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$, c’est donc une solution valable de l’équation.

Deuxième intervalle, c’est-à-dire x pris dans $[-\frac{1}{2};1]$. Dans cet intervalle, l’expression 4x + 2 est positive et l’expression x − 1 reste négative. On résout donc l’équation

$$4x+2-(x-1)=6$$

On simplifie à nouveau :

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

La solution appartient-elle à l’intervalle dans lequel nous travaillons ? Oui. Nous avons trouvé une autre solution de l’équation du premier degré.

Troisième intervalle, c’est-à-dire l’intervalle ]1 ; +∞[. Dans cet intervalle, les deux expressions sont positives, donc on peut supprimer la valeur absolue sans autre changement. On résout donc l’équation :

$$4x+2+x-1=6$$

Cette équation se résout facilement :

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Nous obtenons encore un résultat, identique à celui de l’intervalle précédent. Mais cette solution appartient-elle à l’intervalle dans lequel nous travaillons ? Non ! Nous sommes dans l’intervalle ouvert ]1 ; +∞[ : le nombre un n’en fait pas partie, donc cette solution trouvée à cette troisième étape ne peut pas être comptée parmi les solutions valables.

L’équation du premier degré avec valeur absolue admet deux solutions : $S=\{-\frac{7}{5};1\}$.

Résolution graphique

Comme une équation du premier degré classique, celle-ci peut aussi se résoudre graphiquement. À gauche se trouve la fonction f(x) = |4x + 2|+|x − 1|, et à droite g(x) = 6. On trace ces deux graphes : ils se coupent en deux points. Les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation.

L’ensemble des solutions S contient donc les nombres $S=\{-\frac{7}{5};1\}$.