Lineare Gleichungen mit Betrag

Der Betrag ist eine Funktion, die eine nichtnegative Zahl nicht verändert und aus einer negativen Zahl eine positive macht. Der Betrag kann beim Lösen linearer Gleichungen vorkommen.

Wiederholung

Erinnern wir uns, wie man den Betrag berechnet und schreibt. Einen Term im Betrag schreiben wir mit senkrechten Strichen so: |a|. Wir sagen „Betrag der Zahl a“. Es gilt dann, dass der Betrag einer nichtnegativen Zahl dieselbe Zahl ist. Beispiele: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Der Betrag einer negativen Zahl ist dagegen eine positive Zahl: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Der Betrag von null ist null.

Ein einfaches Beispiel

Ein Beispiel für eine einfache lineare Gleichung mit Betrag ist die Gleichung |x| = 3. Die Frage ist nun, wann der Betrag als Ergebnis drei liefert. Es gibt zwei solche x – ein positives und ein negatives; die Gleichung hat also zwei Lösungen. Die erste ist x₁ = 3, denn |3| = 3. Die zweite Lösung ist x₂ = −3, denn |−3| = 3.

Versuchen wir, die Gleichung zu verändern und zu erschweren. |2x + 1| = 5. Im Betrag haben wir jetzt schon einen komplizierteren Term. Wir können aber ganz genauso vorgehen wie eben. Welche Zahlen haben den Betrag fünf? Wieder 5 und −5. Was folgt daraus? Dass das Innere des Betrags, also der Term 2x + 1, gleich fünf oder minus fünf sein muss. Nur dann hat die Gleichung eine Lösung. Wir lösen also die Gleichungen 2x + 1 = 5 und 2x + 1 = −5. Die Gleichungen lösen wir wie klassische lineare Gleichungen. Es ergibt sich:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

Und das zweite Ergebnis:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Wir haben also zwei Ergebnisse: x₁ = 2 und x₂ = −3. Wir können sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Für x = 2 erhalten wir: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 und für x = −3 haben wir: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Auflösen des Betrags

Das vorige Vorgehen ist aber schwer anwendbar, wenn du eine kompliziertere Gleichung hast. Zum Beispiel diese:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Hier haben wir schon zwei Terme im Betrag und müssen daher anders vorgehen. Zuerst ein etwas einfacheres Beispiel: Was gilt für den Term |x − 2|, wenn wir x aus dem Intervall ]2; +∞[ nehmen? Der Term im Betrag wird immer positiv sein. Setzen wir zum Beispiel die Drei ein, erhalten wir: 3 − 2 = 1. Setzen wir die Zehn ein, haben wir: 10 − 2 = 8 usw. Für jede Zahl aus diesem Intervall ist der Term im Betrag positiv. Wie verändert dann der Betrag den Wert? Gar nicht. Das ist eine wichtige Erkenntnis. Ist der Term im Betrag immer positiv, können wir den Betrag weglassen – er ist dort überflüssig. Nehmen wir x aus dem Intervall ]2; +∞[, dann gilt die Gleichheit |x − 2| = x − 2 (d. h. wir haben den Betrag aufgelöst).

Und jetzt das umgekehrte Beispiel – was, wenn wir x aus dem Intervall ]−∞; 2[ nehmen? Wie groß ist der Wert des Terms im Betrag, also des Terms x − 2? Er ist immer negativ! Probieren wir es mit der Eins: 1 − 2 = −1 oder mit der Null: 0 − 2 = −2. Was macht der Betrag mit diesem Wert? Er dreht ihn ins Positive um, ändert das Vorzeichen. Die Änderung des Vorzeichens können wir durch Multiplikation mit minus eins durchführen, denn es gilt 5 · (−1) = −5, aber auch −7 · (−1) = 7 und −15 · (−1) = 15.

Nehmen wir also x aus dem Intervall ]−∞; 2[, ist der Term im Betrag immer negativ und der Betrag greift also und ändert das Vorzeichen des Terms – er multipliziert ihn mit −1. Wir können also schreiben: Für x aus ]−∞; 2[ gilt die Gleichheit |x − 2| = −(x − 2). Setzen wir zum Beispiel null ein. Zuerst in den Term mit Betrag: |0 − 2| = |−2| = 2 und nun in die rechte Seite: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Wie man sieht, erlauben uns solche Intervalle, den Term mit Betrag in zwei verschiedene Terme zu zerlegen, die wir ganz getrennt lösen können. Das ist praktisch. Die Frage bleibt nun, wie man diese Intervalle findet.

Fallunterscheidung an den Nullstellen

Wann hat der Term x − 2 das Vorzeichen gewechselt? Aus dem vorigen Abschnitt wissen wir, dass der Term im ganzen Intervall ]−∞; 2[ negativ und im ganzen Intervall ]2; +∞[ positiv ist. Wie ist er im Punkt x = 2? Durch Einsetzen finden wir heraus, dass 2 − 2 = 0, also null ist. Das ist kein Zufall. Der Grund ist am besten am Graphen der linearen Funktion zu sehen:

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, diese kann die x-Achse nur einmal schneiden, und wenn sie die x-Achse schneidet, wechselt sie ihr Vorzeichen. Deshalb gilt: Schneidet eine lineare Funktion die x-Achse im Punkt a, dann hat sie im Intervall ]−∞; a[ ein anderes Vorzeichen als im Intervall ]a; +∞[.

Wenn wir also Intervalle suchen, in denen die lineare Funktion positiv und in denen sie negativ ist, genügt es, die sogenannte Nullstelle zu finden, d. h. den Punkt x₀, für den die lineare Funktion f den Funktionswert null hat: f(x₀) = 0. Wenn wir also die Intervalle suchen, in denen der Term x − 2 positiv ist, lösen wir zuerst die Gleichung x − 2 = 0. Die Lösung ist x = 2. Dann können wir die Intervalle bilden: ]−∞; 2[ und ]2; +∞[. In diesen Intervallen lösen wir die Gleichung dann weiter, aber schon mit aufgelöstem Betrag.

Endlich zurück zum Beispiel…

Vor vielen Zeilen haben wir ein Beispiel angegeben:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Wie lösen wir es? Zuerst finden wir die Nullstellen jedes Terms unter dem Betrag, d. h. für die Terme 4x + 2 und x − 1. Der Term 4x + 2 hat die Nullstelle $x=-\frac{1}{2}$ und der Term x − 1 hat die Nullstelle x = 1. Da wir zwei Nullstellen haben, erhalten wir insgesamt drei Intervalle. Jede Nullstelle teilt das Intervall ]−∞; +∞[ auf. Insgesamt erhalten wir also die Intervalle $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$, $[-\frac{1}{2};1]$ und ]1; +∞[. Die Intervalle wählen wir immer so, dass wir das ganze Intervall ]−∞; +∞[ abdecken.

Im nächsten Schritt müssen wir herausfinden, ob die Terme in den jeweiligen Intervallen positiv oder negativ sind. Dazu dient uns eine Tabelle:

$$\begin{array}{cccc}x& ]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[& [-\frac{1}{2};1]& ]1;+\mathrm{\infty }[\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Das Minuszeichen − bedeutet, dass der Term im jeweiligen Intervall negativ ist, das Pluszeichen + bedeutet, dass er positiv ist. Wie sind wir darauf gekommen? Wir haben eine beliebige Zahl aus dem Intervall eingesetzt. Im mittleren Intervall konnten wir zum Beispiel null einsetzen, was rechnerisch am einfachsten ist. Dann erhalten wir beim Term 4x + 2 den Wert 4 · 0 + 2 = 2 und beim Term x − 1 haben wir 0 − 1 = −1.

Tipp: Ist der Term im ersten Intervall negativ und im nächsten positiv, ist er in jedem eventuellen weiteren Intervall wieder positiv. Eine lineare Funktion kann das Vorzeichen nicht zweimal wechseln, siehe die Abbildung mit dem Graphen der linearen Funktion oben.

Jetzt wissen wir, in welchen Intervallen welche Terme positiv oder negativ sind. Unsere weitere Rechnung muss sich in drei Schritte teilen, wir müssen in jedem Intervall getrennt lösen.

Das erste Intervall, d. h. x nehmen wir aus $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$. In diesem Intervall sind beide Terme negativ, wenn wir also den Betrag auflösen wollen, müssen beide Terme das Vorzeichen wechseln. In diesem Intervall lösen wir daher die Gleichung:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Diese Gleichung lösen wir einfach mit Äquivalenzumformungen:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Achtung: Wir müssen überprüfen, ob die Lösung in dem Intervall liegt, in dem wir uns bewegen. Wir setzen nämlich jetzt voraus, dass wir x aus dem Intervall $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$ nehmen; käme also eine Lösung heraus, die nicht in diesem Intervall liegt, dürfen wir sie nicht verwenden. Minus sieben Fünftel liegt im Intervall $]-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2}[$, das ist also eine gültige Lösung der Gleichung.

Das zweite Intervall, d. h. x nehmen wir aus $[-\frac{1}{2};1]$. In diesem Intervall ist der Term 4x + 2 positiv und der Term x − 1 weiterhin negativ. Wir lösen also die Gleichung

$$4x+2-(x-1)=6$$

Wieder formen wir einfach um:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Liegt die Lösung in dem Intervall, in dem wir arbeiten? Ja. Wir haben eine weitere Lösung der linearen Gleichung gefunden.

Das dritte Intervall, d. h. das Intervall ]1; +∞[. In diesem Intervall sind beide Terme positiv, wir können den Betrag also ohne weitere Änderung weglassen. Wir lösen daher die Gleichung:

$$4x+2+x-1=6$$

Diese Gleichung lösen wir leicht:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Wir haben ein weiteres Ergebnis erhalten, dasselbe wie im vorigen Intervall. Ist das aber eine gültige Lösung für das Intervall, in dem wir uns bewegen? Nein! Wir bewegen uns im offenen Intervall ]1; +∞[, die Eins gehört nicht zu diesem Intervall, deshalb dürfen wir diese in diesem dritten Schritt gefundene Lösung nicht zu den gültigen Lösungen zählen.

Die lineare Gleichung mit Betrag hat zwei Lösungen, $L=\{-\frac{7}{5};1\}$.

Grafische Lösung

Genau wie die klassische lineare Gleichung lässt sich auch diese grafisch lösen. Links haben wir die Funktion f(x) = |4x + 2|+|x − 1| und rechts g(x) = 6. Wir lassen diese beiden Graphen zeichnen – sie schneiden sich in zwei Punkten. Die x-Koordinaten dieser Punkte sind die Lösung der Gleichung.

Die Lösungsmenge L enthält also die Werte $L=\{-\frac{7}{5};1\}$.