Linjära ekvationer med absolutbelopp

Absolutbelopp är en funktion som låter ett icke-negativt tal vara som det är och gör ett negativt tal positivt. Absolutbelopp kan förekomma när vi löser linjära ekvationer.

Repetition

Vi påminner oss om hur absolutbelopp beräknas och skrivs. Uttrycket innanför absolutbeloppet skriver vi mellan två lodräta streck så här: |a|. Vi säger ”absolutbeloppet av talet a”. Absolutbeloppet av ett icke-negativt tal är samma tal. Exempel: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Absolutbeloppet av ett negativt tal är däremot ett positivt tal: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. Absolutbeloppet av noll är noll.

Ett enkelt exempel

Ett exempel på en enkel linjär ekvation med absolutbelopp är ekvationen |x| = 3. Frågan är nu: när ger absolutbeloppet resultatet tre? Det finns två x – ett positivt och ett negativt – så ekvationen har två lösningar. Den första är x₁ = 3, eftersom |3| = 3. Den andra lösningen är x₂ = −3, eftersom |−3| = 3.

Vi gör ekvationen lite svårare: |2x + 1| = 5. Nu har vi ett mer komplicerat uttryck innanför absolutbeloppet, men vi kan gå tillväga precis som nyss. Vilka tal har absolutbeloppet fem? Återigen 5 och −5. Vad följer av det? Att det som står innanför absolutbeloppet, dvs. uttrycket 2x + 1, måste vara lika med fem eller minus fem. Bara då har ekvationen en lösning. Vi löser alltså ekvationerna 2x + 1 = 5 och 2x + 1 = −5. Vi löser dem som vanliga linjära ekvationer. Vi får:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

Och den andra lösningen:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Vi har alltså två lösningar: x₁ = 2 och x₂ = −3. Vi kan pröva dem i den ursprungliga ekvationen. För x = 2 får vi: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 och för x = −3 har vi: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Att ta bort absolutbeloppet

Den här metoden är svår att använda när ekvationen är mer komplicerad. Till exempel den här:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Här har vi två uttryck inom absolutbelopp, så vi måste välja en annan metod. Först ett lite enklare exempel: vad gäller för uttrycket |x − 2| om vi låter x vara ett tal i intervallet ]2, +∞[? Uttrycket innanför absolutbeloppet kommer alltid att vara positivt. Om vi sätter in tre får vi: 3 − 2 = 1. Om vi sätter in tio har vi: 10 − 2 = 8 osv. För varje tal i det här intervallet är uttrycket innanför absolutbeloppet positivt. Hur påverkar då absolutbeloppet värdet? Inte alls. Det är viktigt att inse. Om uttrycket innanför absolutbeloppet alltid är positivt kan vi ta bort absolutbeloppet – det behövs inte. Om vi väljer x i intervallet ]2, +∞[ gäller alltså likheten |x − 2| = x − 2 (vi har tagit bort absolutbeloppet).

Nu det omvända fallet – vad händer om vi väljer x i intervallet ]−∞, 2[? Vilket värde får uttrycket innanför absolutbeloppet, dvs. uttrycket x − 2? Det blir alltid negativt! Vi prövar med ett: 1 − 2 = −1, eller med noll: 0 − 2 = −2. Vad gör absolutbeloppet med det här värdet? Det gör det positivt, dvs. byter tecken på det. Teckenbytet kan vi åstadkomma genom att multiplicera med minus ett, eftersom 5 · (−1) = −5, men också −7 · (−1) = 7 och −15 · (−1) = 15.

Om vi alltså väljer x i intervallet ]−∞, 2[ är uttrycket innanför absolutbeloppet alltid negativt, och absolutbeloppet verkar då genom att byta tecken på uttrycket – det multiplicerar det med −1. För x i ]−∞, 2[ kan vi därför skriva likheten: |x − 2| = −(x − 2). Vi prövar med noll. Först i uttrycket med absolutbelopp: |0 − 2| = |−2| = 2 och nu i högerledet: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Som du ser låter sådana intervall oss dela upp ett uttryck med absolutbelopp i två olika uttryck, som vi kan lösa helt var för sig. Det är en fördel. Frågan som återstår är: hur hittar vi intervallen?

Nollställesmetoden

När bytte uttrycket x − 2 tecken? Av det föregående vet vi att uttrycket är negativt i hela intervallet ]−∞, 2[ och positivt i hela intervallet ]2, +∞[. Hur är det i punkten x = 2? Genom insättning ser vi att 2 − 2 = 0, uttrycket är noll. Det är ingen slump. Orsaken syns bäst på grafen till en linjär funktion:

Grafen till en linjär funktion är en rät linje, och den kan skära x-axeln bara en gång. När den skär x-axeln byter funktionen tecken. Därför gäller att om en linjär funktion skär x-axeln i punkten a har den ett annat tecken i intervallet ]−∞, a[ än i intervallet ]a, +∞[.

Om vi alltså söker de intervall där en linjär funktion är positiv respektive negativ räcker det att hitta funktionens nollställe, dvs. den punkt x₀ där den linjära funktionen f har funktionsvärdet noll: f(x₀) = 0. Om vi vill hitta de intervall där uttrycket x − 2 är positivt löser vi först ekvationen x − 2 = 0. Lösningen är x = 2. Då kan vi bilda intervallen ]−∞, 2[ och ]2, +∞[. I de här intervallen löser vi sedan ekvationen vidare, men nu med absolutbeloppet borttaget.

Äntligen tillbaka till exemplet …

Många rader tidigare ställde vi upp exemplet:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Hur löser vi det? Först hittar vi nollställena till varje uttryck innanför ett absolutbelopp, dvs. till uttrycken 4x + 2 och x − 1. Uttrycket 4x + 2 har nollstället $x=-\frac{1}{2}$ och uttrycket x − 1 har nollstället x = 1. Eftersom vi har två nollställen får vi sammanlagt tre intervall. Varje nollställe delar intervallet ]−∞, +∞[ på något sätt. Vi får alltså intervallen $]-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}[$, $[-\frac{1}{2},1]$ och ]1, +∞[. Vi väljer alltid intervallen så att de täcker hela intervallet ]−∞, +∞[.

I nästa steg måste vi ta reda på om uttrycken är positiva eller negativa i de olika intervallen. Då hjälper en tabell:

$$\begin{array}{cccc}x& ]-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}[& [-\frac{1}{2},1]& ]1,+\mathrm{\infty }[\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

Tecknet minus − betyder att uttrycket är negativt i intervallet och tecknet plus + betyder att det är positivt. Hur kom vi fram till det? Vi satte in ett godtyckligt tal från intervallet. I det mellersta intervallet kunde vi till exempel sätta in noll, vilket är enklast att räkna med. Då får vi för uttrycket 4x + 2 att 4 · 0 + 2 = 2 och för x − 1 att 0 − 1 = −1.

Tips: om uttrycket är negativt i det första intervallet och positivt i nästa är det positivt också i alla följande intervall. En linjär funktion kan inte byta tecken två gånger, se bilden med grafen till en linjär funktion ovan.

Nu vet vi i vilka intervall vilka uttryck som är positiva eller negativa. Vår fortsatta beräkning måste delas upp i tre steg, eftersom vi måste lösa ekvationen för sig i varje intervall.

Det första intervallet, dvs. vi väljer x i $]-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}[$. I det här intervallet är båda uttrycken negativa, så om vi vill ta bort absolutbeloppen måste båda uttrycken byta tecken. I det här intervallet löser vi alltså ekvationen:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Den här ekvationen löser vi helt enkelt med ekvivalenta omformningar:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Se upp: vi måste kontrollera om lösningen ligger i det intervall vi arbetar i. Vi har ju antagit att x ligger i intervallet $]-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}[$, så om vi får en lösning som inte ligger i intervallet kan vi inte använda den. Minus sju femtedelar ligger i intervallet $]-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}[$, så det här är en giltig lösning till ekvationen.

Det andra intervallet, dvs. vi väljer x i $[-\frac{1}{2},1]$. I det här intervallet är uttrycket 4x + 2 positivt och uttrycket x − 1 fortfarande negativt. Vi löser alltså ekvationen

$$4x+2-(x-1)=6$$

Återigen förenklar vi helt enkelt:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

Ligger lösningen i det intervall vi arbetar i? Ja, det gör den. Vi har hittat ytterligare en lösning till den linjära ekvationen.

Det tredje intervallet, dvs. intervallet ]1, +∞[. I det här intervallet är båda uttrycken positiva, så vi kan ta bort absolutbeloppen utan ytterligare ändringar. Vi löser alltså ekvationen:

$$4x+2+x-1=6$$

Den här ekvationen löser vi lätt:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Vi fick ytterligare en lösning, samma som i det föregående intervallet. Men är det en giltig lösning för det intervall vi arbetar i? Nej! Vi arbetar i det öppna intervallet ]1, +∞[, och talet 1 ingår inte i det, så den lösning vi hittade i det tredje steget kan vi inte räkna som en giltig lösning.

Den linjära ekvationen med absolutbelopp har två lösningar, $K=\{-\frac{7}{5},1\}$.

Grafisk lösning

Precis som en vanlig linjär ekvation kan även den här lösas grafiskt. Till vänster har vi funktionen f(x) = |4x + 2|+|x − 1| och till höger g(x) = 6. Vi ritar de två graferna – de skär varandra i två punkter. x-koordinaterna för de här punkterna är lösningarna till ekvationen.

Lösningsmängden K innehåller alltså punkterna $K=\{-\frac{7}{5},1\}$.