Equação do 1º grau com valor absoluto

O valor absoluto é uma função que não altera um número não negativo e transforma um número negativo em positivo. O valor absoluto pode aparecer ao resolver equações do 1º grau.

Revisão

Vamos recordar como o valor absoluto é calculado e escrito. Escrevemos a expressão em valor absoluto com barras verticais assim: |a|. Dizemos “módulo de a”. Vale, então, que o valor absoluto de um número não negativo é o próprio número. Exemplos: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Já o valor absoluto de um número negativo é um número positivo: $|-7|=7,|-\pi |=\pi ,|-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$. O valor absoluto de zero é zero.

Um exemplo simples

Um exemplo de equação do 1º grau simples com valor absoluto é a equação |x| = 3. A pergunta agora é: quando o valor absoluto nos devolve três como resultado? Serão dois valores de x, um positivo e outro negativo; a equação tem, portanto, duas soluções. A primeira é x₁ = 3, porque |3| = 3. A segunda solução é x₂ = −3, porque |−3| = 3.

Vamos modificar a equação e deixá-la mais difícil: |2x + 1| = 5. Dentro do valor absoluto já temos uma expressão mais complicada. Mas podemos proceder exatamente como há pouco. Que números têm valor absoluto igual a cinco? De novo 5 e −5. O que se conclui disso? Que o interior do valor absoluto, isto é, a expressão 2x + 1, deve ser igual a cinco ou a menos cinco. Só assim a equação tem solução. Então resolvemos as equações 2x + 1 = 5 e 2x + 1 = −5. Resolvemos as equações como equações do 1º grau comuns. Obtemos:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 5\\ 2x& =& 4\\ x& =& 2\end{array}$$

E o segundo resultado:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& -5\\ 2x& =& -6\\ x& =& -3\end{array}$$

Temos, então, dois resultados: x₁ = 2 e x₂ = −3. Podemos tentar substituí-los na equação original. No caso de x = 2 obtemos: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5 e, no caso de x = −3, temos: |2 · (−3) + 1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Eliminação do valor absoluto

O procedimento anterior é difícil de aplicar quando temos uma equação mais complicada. Por exemplo, esta:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Aqui já temos duas expressões em valor absoluto e, por isso, precisamos escolher outro procedimento. Primeiro um exemplo um pouco mais simples: o que valerá para a expressão |x − 2| se tomarmos x do intervalo ]2, +∞[? A expressão em valor absoluto será sempre positiva. Se substituirmos, por exemplo, três, obtemos: 3 − 2 = 1. Se substituirmos dez, temos: 10 − 2 = 8 etc. Para qualquer número desse intervalo, a expressão em valor absoluto é positiva. Como o valor absoluto mexe então com o valor? De modo algum. Essa é uma constatação importante. Se a expressão dentro do valor absoluto é sempre positiva, podemos eliminar o valor absoluto: ele está ali à toa. Se tomamos x do intervalo ]2, +∞[, vale a igualdade |x − 2| = x − 2 (isto é, eliminamos o valor absoluto).

E agora o exemplo oposto: e se tomarmos x do intervalo ]−∞, 2[? Qual será o valor da expressão dentro do valor absoluto, isto é, da expressão x − 2? Será sempre negativo! Vamos tentar substituindo um: 1 − 2 = −1, ou zero: 0 − 2 = −2. O que o valor absoluto faz com esse valor? Vira-o para a forma positiva, muda o sinal. Podemos fazer a mudança de sinal multiplicando por menos um, porque 5 · (−1) = −5, mas também −7 · (−1) = 7 e −15 · (−1) = 15.

Então, se tomamos x do intervalo ]−∞, 2[, a expressão dentro do valor absoluto será sempre negativa, e o valor absoluto entra em ação e muda o sinal da expressão: multiplica-a por −1. Assim podemos escrever que, para x em ]−∞, 2[, vale a igualdade: |x − 2| = −(x − 2). Vamos tentar substituir, por exemplo, zero. Primeiro na expressão com valor absoluto: |0 − 2| = |−2| = 2 e agora no segundo membro: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Como se vê, intervalos assim nos permitem dividir a expressão com valor absoluto em duas expressões diferentes, que podemos resolver de forma totalmente separada. Isso é vantajoso. Resta a pergunta: como encontrar esses intervalos?

Estudo dos zeros das expressões

Quando a expressão x − 2 mudava de sinal? Da parte anterior sabemos que, em todo o intervalo ]−∞, 2[, a expressão é negativa e, em todo o intervalo ]2, +∞[, é positiva. Como ela é no ponto x = 2? Substituindo, descobrimos que 2 − 2 = 0, é nula. Isso não é coincidência. O motivo se vê melhor no gráfico da função afim:

O gráfico de uma função afim é uma reta, que pode cruzar o eixo x apenas uma vez e, quando cruza o eixo x, muda de sinal. Por isso vale que, se uma função afim cruza o eixo x no ponto a, ela terá no intervalo ]−∞, a[ um sinal diferente do que no intervalo ]a, +∞[.

Por isso, se procuramos os intervalos em que a função afim é positiva e em que é negativa, basta encontrarmos o chamado zero, isto é, o ponto x₀ para o qual a função afim f tem valor zero: f(x₀) = 0. Então, se procuramos os intervalos em que a expressão x − 2 é positiva, primeiro resolvemos a equação x − 2 = 0. A solução é x = 2. Depois podemos formar os intervalos: ]−∞, 2[ e ]2, +∞[. Nesses intervalos continuamos resolvendo a equação, mas já com o valor absoluto eliminado.

Finalmente, de volta ao exemplo…

Muitas linhas atrás, definimos o exemplo:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Como o resolvemos? Primeiro encontramos os zeros de cada expressão dentro de valor absoluto, isto é, das expressões 4x + 2 e x − 1. A expressão 4x + 2 tem zero em $x=-\frac{1}{2}$ e a expressão x − 1 tem zero em x = 1. Como temos dois zeros, teremos no total três intervalos. Cada zero divide de algum modo o intervalo ]−∞, +∞[. Assim, obtemos no total os intervalos $]-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}[$, $[-\frac{1}{2},1]$ e ]1, +∞[. Escolhemos sempre os intervalos de modo a cobrir todo o intervalo ]−∞, +∞[.

No passo seguinte precisamos descobrir se as expressões são positivas ou negativas nos intervalos dados. Para isso nos serve uma tabela:

$$\begin{array}{cccc}x& ]-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}[& [-\frac{1}{2},1]& ]1,+\mathrm{\infty }[\\ 4x+2& -& +& +\\ x-1& -& -& +\end{array}$$

O sinal de menos − indica que a expressão é negativa no intervalo dado; o sinal de mais + indica que é positiva. Como chegamos a isso? Substituímos um número qualquer do intervalo. Por exemplo, no intervalo do meio podíamos substituir zero, que é o mais simples de calcular. Então, na expressão 4x + 2 obtemos 4 · 0 + 2 = 2 e, em x − 1, temos 0 − 1 = −1.

Dica: se no primeiro intervalo a expressão é negativa e no seguinte é positiva, em qualquer outro intervalo a expressão será de novo positiva. Uma função afim não pode mudar de sinal duas vezes; veja a figura acima com o gráfico da função afim.

Neste momento sabemos em quais intervalos cada expressão é positiva ou negativa. Nosso cálculo seguinte deve se dividir em três passos: precisamos resolver separadamente em cada intervalo.

Primeiro intervalo, isto é, tomamos x de $]-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}[$. Nesse intervalo as duas expressões são negativas; então, para eliminar o valor absoluto, as duas expressões devem mudar de sinal. Nesse intervalo resolvemos, portanto, a equação:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Resolvemos essa equação simplesmente com as transformações equivalentes:

$$\begin{array}{rcl}-(4x+2)-(x-1)& =& 6\\ -4x-2-x+1& =& 6\\ -5x-1& =& 6\\ -5x& =& 7\\ x& =& -\frac{7}{5}\end{array}$$

Atenção: precisamos verificar se a solução pertence ao intervalo em que estamos trabalhando. Estamos supondo que tomamos x do intervalo $]-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}[$; portanto, se obtivéssemos uma solução que não está nesse intervalo, não poderíamos usá-la. Menos sete quintos está no intervalo $]-\mathrm{\infty },-\frac{1}{2}[$, então essa é uma solução válida da equação.

Segundo intervalo, isto é, tomamos x de $[-\frac{1}{2},1]$. Nesse intervalo a expressão 4x + 2 é positiva e a expressão x − 1 continua negativa. Resolvemos, portanto, a equação

$$4x+2-(x-1)=6$$

De novo transformamos de forma simples:

$$\begin{array}{rcl}4x+2-(x-1)& =& 6\\ 4x+2-x+1& =& 6\\ 3x+3& =& 6\\ 3x& =& 3\\ x& =& 1\end{array}$$

A solução pertence ao intervalo em que estamos trabalhando? Sim, pertence. Encontramos mais uma solução da equação do 1º grau.

Terceiro intervalo, isto é, o intervalo ]1, +∞[. Nesse intervalo as duas expressões são positivas, então podemos eliminar o valor absoluto sem nenhuma outra mudança. Resolvemos, portanto, a equação:

$$4x+2+x-1=6$$

Resolvemos essa equação facilmente:

$$\begin{array}{r}4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1\end{array}$$

Obtivemos outro resultado, igual ao do intervalo anterior. Mas essa é uma solução válida para o intervalo em que estamos trabalhando? Não é! Estamos trabalhando no intervalo aberto ]1, +∞[, o um não faz parte desse intervalo, então a solução encontrada neste terceiro passo não pode ser contada entre as soluções válidas.

A equação do 1º grau com valor absoluto tem duas soluções, $S=\{-\frac{7}{5},1\}$.

Solução gráfica

Assim como a equação do 1º grau comum, essa também pode ser resolvida graficamente. No primeiro membro temos a função f(x) = |4x + 2|+|x − 1| e, no segundo, g(x) = 6. Desenhamos esses dois gráficos: eles se cruzam em dois pontos. As abscissas desses pontos são as soluções da equação.

O conjunto solução S contém, portanto, os valores $S=\{-\frac{7}{5},1\}$.