Teorema sinusurilor și teorema cosinusului

Teorema sinusurilor este o teoremă care – spre deosebire de funcțiile trigonometrice obișnuite – este valabilă într-un triunghi oarecare. Ne dă o relație între lungimile laturilor și unghiuri. Teorema cosinusului este valabilă tot într-un triunghi oarecare, iar cazul ei particular este teorema lui Pitagora.

Teorema sinusurilor

Teorema sinusurilor ne spune că raportul dintre lungimea fiecărei laturi și sinusul unghiului opus ei este constant într-un triunghi oarecare (!). Scriem asta astfel:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,$$

unde R este raza cercului circumscris, iar a, b și c sunt lungimile laturilor triunghiului. Egalitatea de mai sus o putem scrie și sub forma:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Teorema cosinusului

Teorema cosinusului este valabilă tot într-un triunghi oarecare, la fel ca teorema sinusurilor. Teorema cosinusului spune:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Observă că, dacă unul dintre unghiuri este drept, adică are măsura de 90 de grade, într-una dintre formule dispare ultimul termen și obținem forma teoremei lui Pitagora. Într-adevăr, dacă α = 90°, atunci cos(α) = 0 și obținem:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivație

Fie triunghiul ABC cu latura c de lungime |c| = 9. Măsurile unghiurilor sunt: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Întrebarea este: care sunt lungimile celorlalte două laturi? Aici nu ne mai ajung funcțiile trigonometrice obișnuite, pentru că ele funcționează într-un triunghi dreptunghic, iar acesta cu siguranță nu este. Figura:

Aici va trebui să folosim alte căi. Una dintre ele este chiar teorema sinusurilor. Cum o folosim? Teorema sinusurilor ne spune că:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Noi cunoaștem toate unghiurile și lungimea laturii c. Latura b o calculăm așadar din egalitatea

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Aici trebuie să izolăm lungimea laturii b. Facem o transformare echivalentă a ecuației și înmulțim ecuația cu sinusul unghiului beta. Obținem:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Toate expresiile din partea dreaptă le cunoaștem sau le putem calcula. Așadar substituim:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}\approx 10,23.$$

Exact în același mod calculăm și latura rămasă, a:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Îl izolăm pe |a| înmulțind ecuația cu sinusul unghiului alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Calculăm rezultatul:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}\approx \mathrm{6,672}$$

Demonstrația teoremei sinusurilor

De ce este adevărată egalitatea cu sinusuri? Să privim un triunghi oarecare ABC, în care ducem înălțimea corespunzătoare laturii c.

Întrebarea este ce lungime are segmentul CP_c. Datorită înălțimii, triunghiul ABC este împărțit în două triunghiuri dreptunghice, cu ajutorul cărora putem exprima lungimea înălțimii. Încercăm deci să exprimăm lungimea CP_c cu ajutorul ambelor triunghiuri. Sinusul unghiului alfa este egal cu:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

De aici exprimăm |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Acum exprimăm lungimea CP_c cu ajutorul celui de-al doilea triunghi, prin unghiul beta:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

De aici izolăm din nou |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Acum avem lungimea înălțimii exprimată prin două formule:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

deci obținem egalitatea

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

De aici mai e puțin până la ceea ce ne spune teorema sinusurilor. Împărțim toată ecuația la sinus alfa înmulțit cu sinus beta:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{simplificăm sinusurile}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Prin procedeul de mai sus am demonstrat o parte a teoremei sinusurilor; demonstrația pentru celelalte combinări de laturi este identică.