Szinusztétel és koszinusztétel

A szinusztétel olyan tétel, amely – a szokásos szögfüggvényekkel ellentétben – az általános háromszögben érvényes. Az oldalak hossza és a szögek közötti összefüggést adja meg. A koszinusztétel is érvényes az általános háromszögben, és speciális esete a Pitagorasz-tétel.

Szinusztétel

A szinusztétel azt mondja ki, hogy az oldalak hosszának és a velük szemközti szögek szinuszának hányadosa az adott általános (!) háromszögben állandó. Így írjuk fel:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,$$

ahol R a körülírt kör sugara, a, b és c pedig a háromszög oldalainak hossza. Az előző egyenlőséget átírhatjuk ilyen alakra is:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Koszinusztétel

A koszinusztétel is érvényes az általános háromszögben, akárcsak a szinusztétel. A koszinusztétel így szól:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Figyeld meg, hogy ha az egyik szög derékszög, azaz 90 fokos, akkor az egyik képletből eltűnik az utolsó tag, és a Pitagorasz-tétel alakját kapjuk. Ha ugyanis α = 90°, akkor cos(α) = 0, és így ezt kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motiváció

Legyen adott az ABC háromszög, amelynek c oldala |c| = 9 hosszú. A szögek nagysága: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. A kérdés az, mekkora a másik két oldal hossza. Ebben az esetben már nem boldogulunk a szokásos szögfüggvényekkel, mert azok a derékszögű háromszögben működnek, ez pedig határozottan nem az. Az ábra:

Most más úton kell mennünk. Az egyik ilyen út éppen a szinusztétel. Hogyan használjuk? A szinusztétel azt mondja, hogy:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Mi ebből ismerjük az összes szöget és a c oldal hosszát. A b oldalt tehát az

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

egyenlőségből számítjuk ki. Itt ki kell fejeznünk a b oldal hosszát. Elvégezzük az egyenletek ekvivalens átalakítását, és az egyenletet megszorozzuk a béta szög szinuszával. Ezt kapjuk:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

A jobb oldal minden kifejezését ismerjük, vagy ki tudjuk számítani. Behelyettesítünk tehát:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Pontosan ugyanígy számítjuk ki a hiányzó a oldalt:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Az |a|-t kifejezzük úgy, hogy az egyenletet megszorozzuk az alfa szög szinuszával.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Kiszámítjuk az eredményt:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

A szinusztétel levezetése

Miért igaz a szinusz-egyenlőség? Nézzünk egy közönséges ABC háromszöget, amelyben még megrajzoljuk a c oldalhoz tartozó magasságot.

A kérdés az, milyen hosszú a CP_c szakasz. A magasságnak köszönhetően az ABC háromszög két derékszögű háromszögre oszlik, amelyek segítségével ki tudjuk fejezni a magasság hosszát. Megpróbáljuk tehát kifejezni a CP_c hosszát mindkét háromszöggel. Az alfa szög szinusza egyenlő:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Ebből kifejezzük a |CP_c|-t:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Most kifejezzük a CP_c hosszát a másik háromszöggel, a béta szög segítségével:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Ebből ismét kifejezzük a |CP_c|-t:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Így a magasság hosszát két képlettel is kifejeztük:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

tehát ezt az egyenlőséget kapjuk:

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Ez már közel van ahhoz, amit a szinusztétel mond. Az egész egyenletet elosztjuk az alfa és a béta szinuszának szorzatával:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{egyszerűsítünk a szinuszokkal}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Az előző eljárással a szinusztétel egy részét bebizonyítottuk, az oldalak többi kombinációjára azonban a bizonyítás ugyanilyen.