Νόμος ημιτόνων και νόμος συνημιτόνων

Ο νόμος των ημιτόνων είναι ένα θεώρημα που – σε αντίθεση με τις συνηθισμένες τριγωνομετρικές συναρτήσεις – ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο. Μας δίνει μια σχέση ανάμεσα στα μήκη των πλευρών και στις γωνίες. Ο νόμος των συνημιτόνων ισχύει επίσης σε οποιοδήποτε τρίγωνο και ειδική περίπτωσή του είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Νόμος των ημιτόνων

Ο νόμος των ημιτόνων μας λέει ότι ο λόγος κάθε μήκους πλευράς προς το ημίτονο της απέναντι γωνίας είναι σε ένα δεδομένο τυχαίο (!) τρίγωνο σταθερός. Το γράφουμε ως εξής:

$$\frac{a}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha }=\frac{b}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta }=\frac{c}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\gamma }=2R,$$

όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και τα a, b και c είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Την προηγούμενη ισότητα μπορούμε να την ξαναγράψουμε και στη μορφή:

$$\frac{a}{b}=\frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha }{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta },\frac{b}{c}=\frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta }{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\gamma },\frac{c}{a}=\frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\gamma }{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha }$$

Νόμος των συνημιτόνων

Ο νόμος των συνημιτόνων ισχύει επίσης σε οποιοδήποτε τρίγωνο, όπως ο νόμος των ημιτόνων. Ο νόμος των συνημιτόνων λέει:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\gamma \end{array}$$

Πρόσεξε ότι αν μία από τις γωνίες είναι ορθή, δηλαδή έχει μέτρο 90 μοίρες, τότε σε έναν από τους τύπους εξαφανίζεται το τελευταίο μέρος του τύπου και παίρνουμε τη μορφή του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Διότι αν α = 90°, τότε συν α = 0 και έτσι προκύπτει:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Κίνητρο

Έστω τρίγωνο ABC με πλευρά c μήκους |c| = 9. Τα μέτρα των γωνιών είναι: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Το ερώτημα είναι ποιο είναι το μήκος των δύο υπόλοιπων πλευρών. Τώρα πια δεν αρκούν οι συνηθισμένες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, γιατί αυτές λειτουργούν σε ορθογώνιο τρίγωνο, και αυτό σίγουρα δεν είναι ορθογώνιο. Το σχήμα:

Τώρα θα πρέπει να ακολουθήσουμε άλλους δρόμους. Ένας από αυτούς είναι ακριβώς ο νόμος των ημιτόνων. Πώς θα τον χρησιμοποιήσουμε; Ο νόμος των ημιτόνων μας λέει ότι:

$$\frac{|a|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha }=\frac{|b|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta }=\frac{|c|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\gamma }$$

Από αυτά γνωρίζουμε όλες τις γωνίες και το μήκος της πλευράς c. Την πλευρά b θα την υπολογίσουμε από την ισότητα

$$\frac{|b|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta }=\frac{|c|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\gamma }$$

Εδώ πρέπει να απομονώσουμε το μήκος της πλευράς b. Κάνουμε ισοδύναμη μετατροπή της εξίσωσης και πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με το ημίτονο της γωνίας βήτα. Παίρνουμε:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta }{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\gamma }$$

Όλες οι παραστάσεις στο δεξί μέλος είναι γνωστές ή μπορούμε να τις υπολογίσουμε. Αντικαθιστούμε λοιπόν:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Ακριβώς με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε την υπόλοιπη πλευρά a:

$$\frac{|a|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha }=\frac{|c|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\gamma }$$

Απομονώνουμε το |a| πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με το ημίτονο της γωνίας άλφα.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha }{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\gamma }$$

Υπολογίζουμε το αποτέλεσμα:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Απόδειξη του νόμου των ημιτόνων

Γιατί ισχύει η ισότητα των ημιτόνων; Ας κοιτάξουμε ένα συνηθισμένο τρίγωνο ABC, στο οποίο φέρνουμε ακόμη το ύψος προς την πλευρά c.

Το ερώτημα είναι ποιο μήκος έχει το τμήμα CP_c. Χάρη στο ύψος το τρίγωνο ABC χωρίζεται σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, με τη βοήθεια των οποίων μπορούμε να εκφράσουμε το μήκος του ύψους. Θα προσπαθήσουμε λοιπόν να εκφράσουμε το μήκος του τμήματος CP_c με τη βοήθεια και των δύο τριγώνων. Ισχύει ότι το ημίτονο της γωνίας άλφα ισούται με:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha =\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Από εδώ εκφράζουμε το |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha \cdot |AC|=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha \cdot |b|.$$

Τώρα εκφράζουμε το μήκος του τμήματος CP_c με το δεύτερο τρίγωνο, με τη γωνία βήτα:

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta =\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Από εδώ πάλι απομονώνουμε το |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta \cdot |BC|=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta \cdot |a|$$

Τώρα έχουμε το μήκος του ύψους εκφρασμένο με δύο τύπους:

$$|C{P}_c|=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha \cdot |b|=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta \cdot |a|,$$

άρα παίρνουμε την ισότητα

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha \cdot |b|=\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta \cdot |a|.$$

Αυτό είναι ήδη κοντά σε αυτό που μας λέει ο νόμος των ημιτόνων. Διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το ημίτονο του άλφα επί το ημίτονο του βήτα:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha \cdot |b|& =& \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta \cdot |a|/:\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha \cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta \\ \frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha \cdot |b|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha \cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta }& =& \frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta \cdot |a|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha \cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta }/\text{απλοποιούμε τα ημίτονα}\\ \frac{|b|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\beta }& =& \frac{|a|}{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\alpha }\end{array}$$

Στην προηγούμενη διαδικασία αποδείξαμε ένα μέρος του νόμου των ημιτόνων, ωστόσο η απόδειξη για τους άλλους συνδυασμούς πλευρών είναι ίδια.