Sinussetningen og cosinussetningen

Sinussetningen er en setning som, i motsetning til de vanlige trigonometriske funksjonene, gjelder i en vilkårlig trekant. Den gir oss en sammenheng mellom sidelengder og vinkler. Cosinussetningen gjelder også i en vilkårlig trekant, og et spesialtilfelle av den er Pytagoras' setning.

Sinussetningen

Sinussetningen forteller oss at forholdet mellom alle sidelengdene og sinusverdiene til de motstående vinklene er konstant i en gitt vilkårlig (!) trekant. Vi skriver det slik:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

der r er radien til den omskrevne sirkelen, og a, b og c er sidelengdene i trekanten. Den forrige likheten kan vi også skrive om til formen:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Cosinussetningen

Cosinussetningen gjelder også i en vilkårlig trekant, på samme måte som sinussetningen. Cosinussetningen lyder:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Legg merke til at hvis en av vinklene er rett, altså har størrelsen 90 grader, forsvinner den siste delen av en av formlene, og vi får formen til Pytagoras' setning. For hvis α = 90°, er cos(α) = 0, og dermed får vi:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivasjon

La oss ha trekanten ABC med siden c av lengde |c| = 9. Vinklene er: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Spørsmålet er hvilken lengde de to andre sidene har. Nå klarer vi oss ikke lenger med de vanlige trigonometriske funksjonene, for de fungerer i en rettvinklet trekant, og det er denne trekanten absolutt ikke. Figur:

Nå må vi gå andre veier. En av dem er nettopp sinussetningen. Hvordan bruker vi den? Sinussetningen forteller oss at:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Her kjenner vi alle vinklene og lengden av siden c. Siden b regner vi derfor ut fra likheten

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Her må vi isolere lengden av siden b. Vi gjør en ekvivalent omforming av likningen og ganger likningen med sinus til vinkelen beta. Vi får:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Alle uttrykkene på høyre side kjenner vi eller kan regne ut. Vi setter inn:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Helt på samme måte regner vi ut den gjenværende siden a:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Vi isolerer |a| ved å gange likningen med sinus til vinkelen alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Vi regner ut resultatet:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Utledning av sinussetningen

Hvorfor gjelder sinuslikheten? La oss se på en vanlig trekant ABC der vi i tillegg tegner høyden ned på siden c.

Spørsmålet er hvilken lengde siden CP_c har. Takket være høyden er trekanten ABC delt i to rettvinklede trekanter, og med dem kan vi uttrykke lengden av høyden. Vi prøver å uttrykke lengden av siden CP_c ved hjelp av begge trekantene. Det gjelder at sinus til vinkelen alfa er lik:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Herfra uttrykker vi |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Nå uttrykker vi lengden av siden CP_c ved hjelp av den andre trekanten, ved hjelp av vinkelen beta:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Herfra isolerer vi igjen |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Nå har vi altså lengden av høyden uttrykt med to formler:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

så vi får likheten

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Det er allerede et stykke på vei mot det sinussetningen forteller oss. Vi deler hele likningen på sinus alfa ganger sinus beta:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{forkorter sinusene}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Med den foregående framgangsmåten har vi bevist en del av sinussetningen, men beviset for de andre kombinasjonene av sider er identisk.