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Teorema dei seni e teorema del coseno

Il teorema dei seni è un teorema che – a differenza delle comuni funzioni goniometriche – vale in un triangolo qualsiasi. Ci dà una relazione tra le lunghezze dei lati e gli angoli. Anche il teorema del coseno (detto anche teorema di Carnot) vale in un triangolo qualsiasi, e un suo caso particolare è il teorema di Pitagora.

Teorema dei seni

Il teorema dei seni dice che il rapporto tra la lunghezza di ogni lato e il seno dell’angolo opposto è costante in un dato triangolo qualsiasi (!). Lo scriviamo così:

asenα=bsenβ=csenγ=2r,

dove r è il raggio della circonferenza circoscritta e a, b e c sono le lunghezze dei lati del triangolo. L’uguaglianza precedente si può scrivere anche nella forma:

ab=senαsenβ,bc=senβsenγ,ca=senγsenα

Teorema del coseno

Anche il teorema del coseno vale in un triangolo qualsiasi, proprio come il teorema dei seni. Il teorema del coseno afferma che:

a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡αb2=c2+a2−2ca⋅cos⁡βc2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γ

Osserva che se uno degli angoli è retto, cioè misura 90 gradi, in una delle formule l’ultimo termine scompare e otteniamo la forma del teorema di Pitagora. Infatti, se α = 90°, allora cos(α) = 0 e otteniamo:

a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡αa2=b2+c2−2bc⋅0a2=b2+c2

Motivazione

Consideriamo un triangolo ABC con il lato c di lunghezza |c| = 9. Le ampiezze degli angoli sono: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. La domanda è: quali sono le lunghezze degli altri due lati? A questo punto non ci bastano più le comuni funzioni goniometriche, perché funzionano in un triangolo rettangolo, e questo di sicuro non lo è. Ecco la figura:

Calcola le lunghezze dei lati a e b

Dobbiamo quindi seguire un’altra strada. Una di queste è proprio il teorema dei seni. Come lo usiamo? Il teorema dei seni ci dice che:

|a|senα=|b|senβ=|c|senγ

Di questa catena conosciamo tutti gli angoli e la lunghezza del lato c. Il lato b si ricava quindi dall’uguaglianza

|b|senβ=|c|senγ

Qui dobbiamo isolare la lunghezza del lato b. Facciamo un’operazione equivalente sull’equazione e moltiplichiamo entrambi i membri per il seno dell’angolo beta. Otteniamo:

|b|=|c|⋅senβsenγ

Tutte le espressioni a destra le conosciamo o sappiamo calcolarle. Sostituiamo quindi:

|b|=9⋅0,9850,866=10,23.

Esattamente allo stesso modo calcoliamo il lato rimanente a:

|a|senα=|c|senγ

Isoliamo |a| moltiplicando l’equazione per il seno dell’angolo alfa.

|a|=|c|⋅senαsenγ

Calcoliamo il risultato:

|a|=9⋅0,6420,866=6,672

Dimostrazione del teorema dei seni

Perché l’uguaglianza dei seni è vera? Consideriamo un triangolo qualsiasi ABC, in cui tracciamo anche l’altezza relativa al lato c.

Triangolo ABC con l’altezza relativa al lato c

La domanda è: quanto è lungo il segmento CPc? Grazie all’altezza il triangolo ABC è diviso in due triangoli rettangoli, con i quali possiamo esprimere la lunghezza dell’altezza. Proviamo quindi a esprimere la lunghezza del segmento CPc con entrambi i triangoli. Il seno dell’angolo alfa è uguale a:

sen(α)=|CPc||AC|

Da qui ricaviamo |CPc|:

|CPc|=sen(α)⋅|AC|=sen(α)⋅|b|.

Ora esprimiamo la lunghezza del segmento CPc con l’altro triangolo, usando l’angolo beta:

sen(β)=|CPc||BC|

Da qui isoliamo di nuovo |CPc|:

|CPc|=sen(β)⋅|BC|=sen(β)⋅|a|

A questo punto abbiamo la lunghezza dell’altezza espressa con due formule:

|CPc|=sen(α)⋅|b|=sen(β)⋅|a|,

quindi otteniamo l’uguaglianza

sen(α)⋅|b|=sen(β)⋅|a|.

Siamo ormai vicini a ciò che afferma il teorema dei seni. Dividiamo l’intera equazione per il prodotto del seno di alfa e del seno di beta:

sen(α)⋅|b|=sen(β)⋅|a|/:sen(α)⋅sen(β)sen(α)⋅|b|sen(α)⋅sen(β)=sen(β)⋅|a|sen(α)⋅sen(β)/semplifichiamo i seni|b|sen(β)=|a|sen(α)

Con il procedimento precedente abbiamo dimostrato una parte del teorema dei seni; la dimostrazione per le altre combinazioni di lati è identica.

Capitoli: Funzioni goniometriche, Circonferenza goniometrica, Funzioni goniometriche inverse, Proprietà di seno, coseno, tangente e cotangente, Formule goniometriche, Grafici delle funzioni goniometriche, Teorema dei seni e teorema del coseno