Loi des sinus et théorème d’Al-Kashi

La loi des sinus est une relation qui, contrairement aux fonctions trigonométriques usuelles, est valable dans n'importe quel triangle. Elle relie les longueurs des côtés et les angles. Le théorème d'Al-Kashi est également valable dans tout triangle, et il a pour cas particulier le théorème de Pythagore.

Loi des sinus

La loi des sinus nous dit que, dans un triangle quelconque (!), le rapport entre chaque longueur de côté et le sinus de l'angle qui lui est opposé est constant. On l'écrit ainsi :

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

où r est le rayon du cercle circonscrit et a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle. On peut aussi écrire cette égalité sous la forme :

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Théorème d'Al-Kashi

Le théorème d'Al-Kashi est également valable dans tout triangle, tout comme la loi des sinus. Il s'énonce ainsi :

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Remarque que si l'un des angles est droit, c'est-à-dire mesure 90°, alors dans l'une des formules le dernier terme disparaît, et l'on obtient la forme du théorème de Pythagore. En effet, si α = 90°, alors cos(α) = 0 et l'on obtient :

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivation

Considérons le triangle ABC dont le côté c mesure |c| = 9. Les mesures des angles sont : α = 40°, β = 80°, γ = 60°. La question est : quelles sont les longueurs des deux autres côtés ? Nous ne pouvons plus nous contenter des fonctions trigonométriques usuelles, car celles-ci s'utilisent dans un triangle rectangle, ce qui n'est clairement pas le cas ici. Figure :

Il faut donc employer d'autres méthodes. L'une d'elles est précisément la loi des sinus. Comment l'utiliser ? La loi des sinus nous dit que :

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Nous connaissons tous les angles et la longueur du côté c. Le côté b se calcule donc à partir de l'égalité

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Il faut ici isoler la longueur du côté b. On effectue une transformation équivalente de l'équation, en multipliant par le sinus de l'angle bêta. On obtient :

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Toutes les expressions du membre de droite sont connues ou peuvent être calculées. On remplace donc :

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Le côté a se calcule de la même façon :

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

On isole |a| en multipliant l'équation par le sinus de l'angle alpha.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

On calcule le résultat :

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Démonstration de la loi des sinus

Pourquoi l'égalité des sinus est-elle vraie ? Considérons un triangle quelconque ABC, dans lequel on trace une hauteur relative au côté c.

Quelle est la longueur du segment CP_c ? Grâce à la hauteur, le triangle ABC est partagé en deux triangles rectangles, à l'aide desquels on peut exprimer la longueur de la hauteur. Essayons donc d'exprimer la longueur CP_c à partir des deux triangles. Le sinus de l'angle alpha est égal à :

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

On isole |CP_c| :

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Exprimons maintenant la longueur CP_c à l'aide du second triangle, celui qui contient l'angle bêta :

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

On isole à nouveau |CP_c| :

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

On dispose donc de la hauteur exprimée par deux formules :

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

d'où l'égalité

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

On se rapproche ainsi de la loi des sinus. On divise l'équation par le produit des sinus de l'angle alpha et de l'angle bêta :

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{on simplifie les sinus}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Nous avons ainsi démontré une partie de la loi des sinus. La démonstration des autres égalités, pour les autres combinaisons de côtés, est identique.