Sinüs ve Kosinüs Teoremi

Sinüs teoremi — olağan trigonometrik fonksiyonlardan farklı olarak — herhangi bir üçgende geçerlidir. Bize kenar uzunlukları ile açılar arasındaki ilişkiyi verir. Kosinüs teoremi de herhangi bir üçgende geçerlidir ve özel hâli Pisagor teoremidir.

Sinüs Teoremi

Sinüs teoremi, verilen herhangi bir (!) üçgende tüm kenar uzunluklarının, karşılarındaki açıların sinüs değerlerine oranının sabit olduğunu söyler. Şöyle yazarız:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

burada r üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı, a, b ve c ise üçgenin kenar uzunluklarıdır. Yukarıdaki eşitliği şu biçimde de yazabiliriz:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Kosinüs Teoremi

Kosinüs teoremi de sinüs teoremi gibi herhangi bir üçgende geçerlidir. Kosinüs teoremi şöyledir:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Açılardan biri dik, yani ölçüsü 90° ise formüllerden birinde son kısmın kaybolduğuna ve Pisagor teoreminin biçimine ulaştığımıza dikkat et. Çünkü α = 90° ise cos(α) = 0 olur ve şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivasyon

c kenarının uzunluğu |c| = 9 olan bir ABC üçgeni olsun. Açıların ölçüleri: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Soru, geri kalan iki kenarın uzunluğunun ne olduğu. Bu noktada sıradan trigonometrik fonksiyonlarla yetinemeyiz, çünkü onlar dik üçgende çalışır, bu üçgen ise kesinlikle dik üçgen değil. Şekil:

Bu noktada başka yollara başvurmamız gerekecek. Bunlardan biri tam olarak sinüs teoremidir. Onu nasıl kullanırız? Sinüs teoremi bize şunu söyler:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Burada tüm açıları ve c kenarının uzunluğunu biliyoruz. b kenarını şu eşitlikten hesaplarız

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Burada b kenarının uzunluğunu yalnız bırakmamız gerekiyor. Denklemin iki tarafına aynı işlemi uygularız: denklemi beta açısının sinüsüyle çarparız. Şunu elde ederiz:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Sağ taraftaki tüm ifadeleri ya biliyoruz ya da hesaplayabiliriz. O hâlde yerine yazarız:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Geri kalan a kenarını da tamamen aynı yolla hesaplarız:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

|a| ifadesini, denklemi alfa açısının sinüsüyle çarparak yalnız bırakırız.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Sonucu hesaplayalım:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Sinüs Teoreminin Türetilmesi

Sinüs eşitliği neden geçerlidir? Sıradan bir ABC üçgenine bakalım ve c kenarına bir de yükseklik çizelim.

Soru, CP_c doğru parçasının uzunluğunun ne olduğu. Yükseklik sayesinde ABC üçgeni iki dik üçgene bölünmüştür ve yüksekliğin uzunluğunu bunlar aracılığıyla ifade edebiliriz. Bu yüzden CP_c doğru parçasının uzunluğunu iki üçgenle de ifade etmeye çalışalım. Alfa açısının sinüsü şuna eşittir:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Buradan |CP_c| uzunluğunu ifade ederiz:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Şimdi CP_c doğru parçasının uzunluğunu ikinci üçgenle, beta açısıyla ifade edelim:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Buradan yine |CP_c| uzunluğunu yalnız bırakırız:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Bu noktada yüksekliğin uzunluğunu iki formülle ifade etmiş olduk:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

dolayısıyla şu eşitliği elde ederiz

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Bu, sinüs teoreminin söylediğine bir adım uzaklıkta. Denklemin her iki tarafını sinüs alfa çarpı sinüs beta ile böleriz:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{sinüsleri sadeleştiririz}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Önceki işlemle sinüs teoreminin bir kısmını ispatlamış olduk; kenarların diğer kombinasyonları için ispat da aynıdır.