Sini- ja kosinilause

Sinilause on lause, joka – toisin kuin tavalliset trigonometriset funktiot – pätee mielivaltaisessa kolmiossa. Se antaa yhteyden sivujen pituuksien ja kulmien välille. Kosinilause pätee myös mielivaltaisessa kolmiossa, ja sen erikoistapaus on Pythagoraan lause.

Sinilause

Sinilause sanoo, että sivujen pituuksien ja niitä vastapäätä olevien kulmien sinien suhde on mielivaltaisessa (!) kolmiossa vakio. Se kirjoitetaan näin:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

missä r on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde ja a, b ja c ovat kolmion sivujen pituudet. Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa myös muotoon:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Kosinilause

Kosinilause pätee myös mielivaltaisessa kolmiossa, aivan kuten sinilause. Kosinilause kuuluu:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Huomaa, että jos yksi kulmista on suora, eli sen suuruus on 90 astetta, yhdestä kaavasta katoaa viimeinen osa ja saadaan Pythagoraan lauseen muoto. Jos nimittäin α = 90°, niin cos(α) = 0, ja saadaan:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivaatio

Olkoon kolmio ABC, jonka sivun c pituus on |c| = 9. Kulmien suuruudet ovat: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Kysymys kuuluu, mitkä ovat kahden muun sivun pituudet. Nyt ei enää pärjätä tavallisilla trigonometrisilla funktioilla, koska ne toimivat suorakulmaisessa kolmiossa, ja tämä kolmio ei todellakaan ole sellainen. Kuva:

Nyt täytyy käyttää muita keinoja. Yksi niistä on juuri sinilause. Miten sitä käytetään? Sinilause sanoo, että:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Tässä tunnetaan kaikki kulmat ja sivun c pituus. Sivu b lasketaan siis yhtälöstä

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Tässä täytyy eristää sivun b pituus. Tehdään yhtäpitävä muunnos ja kerrotaan yhtälö kulman beta sinillä. Saadaan:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Kaikki oikean puolen lausekkeet tunnetaan tai ne osataan laskea. Sijoitetaan siis:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Aivan samalla tavalla lasketaan jäljellä oleva sivu a:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Eristetään |a| kertomalla yhtälö kulman alfa sinillä.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Lasketaan tulos:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Sinilauseen johtaminen

Miksi sinilauseen yhtälö pätee? Tarkastellaan tavallista kolmiota ABC, johon piirretään vielä korkeus sivulle c.

Kysymys kuuluu, kuinka pitkä on jana CP_c. Korkeuden ansiosta kolmio ABC jakautuu kahteen suorakulmaiseen kolmioon, joiden avulla korkeuden pituus voidaan esittää. Yritetään siis esittää janan CP_c pituus kummankin kolmion avulla. Kulman alfa sini on

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Tästä ratkaistaan |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Nyt esitetään janan CP_c pituus toisen kolmion avulla, kulman beta avulla:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Tästä eristetään taas |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Nyt korkeuden pituus on esitetty kahdella kaavalla:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

joten saadaan yhtälö

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Tämä on jo lähellä sitä, mitä sinilause sanoo. Jaetaan koko yhtälö kulmien alfa ja beta sinien tulolla:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{supistetaan sinit}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Edellisessä päättelyssä todistettiin osa sinilauseesta, mutta todistus muille sivuparien yhdistelmille on samanlainen.