Sinusrelationerne og cosinusrelationen

Sinusrelationerne er en sætning, som — i modsætning til de almindelige trigonometriske funktioner — gælder i en vilkårlig trekant. Sætningen giver os en sammenhæng mellem sidelængderne og vinklerne. Cosinusrelationen gælder også i en vilkårlig trekant, og et specialtilfælde af den er Pythagoras' sætning.

Sinusrelationerne

Sinusrelationerne fortæller os, at forholdet mellem længden af hver side og sinus til den modstående vinkel er det samme i en given vilkårlig (!) trekant. Vi skriver det sådan:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

hvor r er radius i den omskrevne cirkel, og a, b og c er trekantens sidelængder. Den foregående lighed kan vi også omskrive til formen:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Cosinusrelationen

Cosinusrelationen gælder også i en vilkårlig trekant, ligesom sinusrelationerne. Cosinusrelationen lyder:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Læg mærke til, at hvis en af vinklerne er ret, altså på 90 grader, forsvinder den sidste del af en af formlerne, og vi får formen af Pythagoras' sætning. Hvis nemlig α = 90°, er cos(α) = 0, og vi får:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivation

Vi har en trekant ABC med siden c af længden |c| = 9. Vinklernes størrelser er: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Spørgsmålet er, hvor lange de to øvrige sider er. Nu kommer vi ikke længere ud af det med de almindelige trigonometriske funktioner, for de virker i en retvinklet trekant, og det er denne trekant bestemt ikke. Se figuren:

Nu må vi finde andre veje. En af dem er netop sinusrelationerne. Hvordan bruger vi dem? Sinusrelationerne fortæller os, at:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Vi kender alle vinklerne og længden af siden c. Siden b beregner vi derfor ud fra ligheden

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Her skal vi isolere længden af siden b. Vi foretager en ækvivalent omformning af ligningen og ganger ligningen med sinus til vinklen beta. Vi får:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Alle udtrykkene på højre side kender vi, eller også kan vi beregne dem. Vi indsætter altså:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Præcis på samme måde beregner vi den resterende side a:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Vi isolerer |a| ved at gange ligningen med sinus til vinklen alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Vi beregner resultatet:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Udledning af sinusrelationerne

Hvorfor gælder sinusrelationerne? Lad os se på en helt almindelig trekant ABC, hvor vi desuden tegner højden på siden c.

Spørgsmålet er, hvor langt linjestykket CP_c er. Højden deler trekant ABC i to retvinklede trekanter, ved hjælp af hvilke vi kan udtrykke højdens længde. Vi prøver derfor at udtrykke længden af CP_c ved hjælp af begge trekanter. Der gælder, at sinus til vinklen alfa er lig med:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Heraf udtrykker vi |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Nu udtrykker vi længden af CP_c ved hjælp af den anden trekant og vinklen beta:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Heraf isolerer vi igen |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Nu har vi højdens længde udtrykt med to formler:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

så vi får ligheden

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Det er allerede tæt på det, sinusrelationerne fortæller os. Vi dividerer hele ligningen med sinus til alfa gange sinus til beta:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{vi forkorter sinus}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Med den foregående fremgangsmåde har vi bevist en del af sinusrelationerne, men beviset for de øvrige kombinationer af sider er identisk.