Sinussatz und Kosinussatz

Der Sinussatz ist ein Satz, der – im Unterschied zu den gewöhnlichen Winkelfunktionen – im allgemeinen Dreieck gilt. Er gibt uns eine Beziehung zwischen den Seitenlängen und den Winkeln an. Auch der Kosinussatz gilt im allgemeinen Dreieck, und sein Spezialfall ist der Satz des Pythagoras.

Sinussatz

Der Sinussatz sagt uns, dass das Verhältnis aller Seitenlängen zu den Sinuswerten der gegenüberliegenden Winkel in einem gegebenen allgemeinen (!) Dreieck konstant ist. Wir schreiben es so:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

wobei r der Radius des Umkreises ist und a, b und c die Seitenlängen des Dreiecks sind. Die vorherige Gleichung können wir auch in der Form

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

schreiben.

Kosinussatz

Der Kosinussatz gilt ebenfalls im allgemeinen Dreieck, genau wie der Sinussatz. Der Kosinussatz lautet:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Beachte: Ist einer der Winkel ein rechter, d. h. hat er die Größe 90 Grad, dann verschwindet in einer der Formeln deren letzter Teil und wir erhalten die Form des Satzes des Pythagoras. Denn wenn α = 90°, dann ist cos(α) = 0 und wir erhalten:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivation

Gegeben sei ein Dreieck ABC mit der Seite c der Länge |c| = 9. Die Winkelgrößen sind: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Die Frage lautet, wie lang die beiden übrigen Seiten sind. Mit den gewöhnlichen Winkelfunktionen kommen wir jetzt nicht mehr aus, denn diese funktionieren im rechtwinkligen Dreieck, und das ist dieses ganz sicher nicht. Bild:

Jetzt müssen wir andere Wege gehen. Einer davon ist eben der Sinussatz. Wie wenden wir ihn an? Der Sinussatz sagt uns:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Von diesen Größen kennen wir alle Winkel und die Länge der Seite c. Die Seite b berechnen wir also aus der Gleichheit

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Hier müssen wir die Länge der Seite b isolieren. Wir führen eine Äquivalenzumformung der Gleichung durch und multiplizieren die Gleichung mit dem Sinus des Winkels beta. Wir erhalten:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Alle Terme auf der rechten Seite kennen wir oder können sie berechnen. Wir setzen also ein:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Auf genau dieselbe Weise berechnen wir die übrige Seite a:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Wir isolieren |a|, indem wir die Gleichung mit dem Sinus des Winkels alpha multiplizieren.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Wir berechnen das Ergebnis:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Herleitung des Sinussatzes

Warum gilt der Sinussatz? Schauen wir uns ein gewöhnliches Dreieck ABC an, in dem wir noch die Höhe auf die Seite c einzeichnen.

Die Frage ist, welche Länge die Strecke CP_c hat. Dank der Höhe ist das Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt, mit deren Hilfe wir die Länge der Höhe ausdrücken können. Wir versuchen also, die Länge der Strecke CP_c mit beiden Dreiecken auszudrücken. Es gilt, dass der Sinus des Winkels alpha gleich

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

ist. Daraus drücken wir |CP_c| aus:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Jetzt drücken wir die Länge der Strecke CP_c mit dem zweiten Dreieck aus, mithilfe des Winkels beta:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Daraus lösen wir wieder nach |CP_c| auf:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Jetzt haben wir die Länge der Höhe durch zwei Formeln ausgedrückt:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

also erhalten wir die Gleichheit

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Das ist schon nah an dem, was der Sinussatz sagt. Wir teilen die ganze Gleichung durch Sinus alpha mal Sinus beta:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{wir kürzen die Sinus}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Mit diesem Vorgehen haben wir einen Teil des Sinussatzes bewiesen, der Beweis für die übrigen Kombinationen von Seiten ist jedoch identisch.