Sinussatsen och cosinussatsen

Sinussatsen är en sats som — till skillnad från de vanliga trigonometriska funktionerna — gäller i en godtycklig triangel. Den ger oss ett samband mellan sidornas längder och vinklarna. Cosinussatsen gäller också i en godtycklig triangel, och ett specialfall av den är Pythagoras sats.

Sinussatsen

Sinussatsen säger att kvoten mellan varje sidas längd och sinus för den motstående vinkeln är konstant i en given godtycklig (!) triangel. Vi skriver det så här:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r,$$

där r är radien i den omskrivna cirkeln och a, b och c är triangelns sidlängder. Likheten ovan kan vi också skriva om till formen:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Cosinussatsen

Cosinussatsen gäller också i en godtycklig triangel, precis som sinussatsen. Cosinussatsen lyder:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Lägg märke till att om en av vinklarna är rät, alltså 90°, försvinner den sista delen i en av formlerna och vi får formen av Pythagoras sats. För om α = 90° är cos(α) = 0, och då får vi:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivering

Vi har en triangel ABC med sidan c av längden |c| = 9. Vinklarna är: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Frågan är hur långa de två återstående sidorna är. Nu räcker det inte längre med de vanliga trigonometriska funktionerna, eftersom de fungerar i en rätvinklig triangel, och det här är verkligen ingen sådan. Bilden:

Nu måste vi använda andra metoder. En av dem är just sinussatsen. Hur använder vi den? Sinussatsen säger oss att:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Vi känner till alla vinklar och längden av sidan c. Sidan b beräknar vi därför ur likheten

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Här måste vi lösa ut längden av sidan b. Vi gör en ekvivalent omformning av ekvationen och multiplicerar ekvationen med sinus för vinkeln beta. Vi får:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Alla uttryck i högerledet känner vi till eller kan räkna ut. Vi sätter alltså in:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Precis på samma sätt beräknar vi den återstående sidan a:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Vi löser ut |a| genom att multiplicera ekvationen med sinus för vinkeln alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Vi beräknar resultatet:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Härledning av sinussatsen

Varför gäller sinuslikheten? Vi tittar på en vanlig triangel ABC där vi dessutom ritar höjden mot sidan c.

Frågan är hur lång sträckan CP_c är. Tack vare höjden är triangeln ABC uppdelad i två rätvinkliga trianglar, och med hjälp av dem kan vi uttrycka höjdens längd. Vi försöker alltså uttrycka längden av sträckan CP_c med hjälp av båda trianglarna. Det gäller att sinus för vinkeln alfa är lika med:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

Härifrån uttrycker vi |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Nu uttrycker vi längden av sträckan CP_c med hjälp av den andra triangeln, med vinkeln beta:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

Härifrån löser vi återigen ut |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Nu har vi höjdens längd uttryckt med två formler:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

så vi får likheten

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Nu är vi nära det som sinussatsen säger. Vi dividerar hela ekvationen med sinus för alfa gånger sinus för beta:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{förkorta sinus}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

I det här resonemanget bevisade vi en del av sinussatsen, men beviset för de andra kombinationerna av sidor är identiskt.