Синусова и косинусова теорема

Синусовата теорема е теорема, която – за разлика от обикновените тригонометрични функции – е в сила в произволен триъгълник. Дава ни връзката между дължините на страните и ъглите. Косинусовата теорема също е в сила в произволен триъгълник и нейният частен случай е Питагоровата теорема.

Синусова теорема

Синусовата теорема ни казва, че в произволен (!) триъгълник отношението на дължината на всяка страна към синуса на срещулежащия ѝ ъгъл е едно и също. Записваме го така:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,$$

където R е радиусът на описаната окръжност, а a, b и c са дължините на страните на триъгълника. Предишното равенство можем да го препишем и във вида:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma },\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$$

Косинусова теорема

Косинусовата теорема, както и синусовата, е в сила в произволен триъгълник. Косинусовата теорема гласи:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Забележи, че ако един от ъглите е прав, тоест има мярка 90 градуса, тогава в една от формулите изчезва последната част на формулата и получаваме вида на Питагоровата теорема. Защото ако α = 90°, тогава cos(α) = 0 и така получаваме:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Мотивация

Нека имаме триъгълник ABC със страна c с дължина |c| = 9. Мерките на ъглите са: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. Въпросът е каква е дължината на останалите две страни? В този момент вече не ни стигат обикновените тригонометрични функции, защото те работят в правоъгълен триъгълник, което този определено не е. Чертеж:

В този момент ще трябва да използваме други начини. Един от тях е именно синусовата теорема. По какъв начин ще я използваме? Синусовата теорема ни казва, че:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

От тези величини знаем всички ъгли и дължината на страната c. Следователно страната b намираме от равенството

$$\frac{|b|}{\sin \beta }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Тук трябва да изразим дължината на страната b. Правим еквивалентно преобразуване на уравнения и умножаваме уравнението по синуса на ъгъл бета. Получаваме:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \sin \beta }{\sin \gamma }$$

Всички изрази от дясната страна знаем или умеем да ги допресметнем. Така че заместваме:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Съвсем по същия начин допресмятаме останалата страна a:

$$\frac{|a|}{\sin \alpha }=\frac{|c|}{\sin \gamma }$$

Изразяваме |a|, като умножим уравнението по синуса на ъгъл алфа.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \sin \alpha }{\sin \gamma }$$

Допресмятаме резултата:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Извод на синусовата теорема

Защо синусовото равенство е в сила? Нека погледнем обикновен триъгълник ABC, в който ще начертаем още височината към страната c.

Въпросът е каква дължина има страната CP_c. Благодарение на височината имаме триъгълника ABC разделен на два правоъгълни триъгълника, с чиято помощ можем да изразим дължината на височината. Нека опитаме да изразим дължината на страната CP_c с помощта на двата триъгълника. В сила е, че синусът на ъгъл алфа е равен на:

$$\sin (\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

От тук изразяваме |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |AC|=\sin (\alpha )\cdot |b|.$$

Сега изразяваме дължината на страната CP_c с помощта на втория триъгълник, с помощта на ъгъл бета:

$$\sin (\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

От тук отново изразяваме |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\sin (\beta )\cdot |BC|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Сега имаме дължината на височината изразена с две формули:

$$|C{P}_c|=\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|,$$

така че получаваме равенството

$$\sin (\alpha )\cdot |b|=\sin (\beta )\cdot |a|.$$

Това вече е близо до това, което ни казва синусовата теорема. Разделяме цялото равенство на произведението синус алфа по синус бета:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\alpha )\cdot |b|& =& \sin (\beta )\cdot |a|/:\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )\\ \frac{\sin (\alpha )\cdot |b|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}& =& \frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\sin (\alpha )\cdot \sin (\beta )}/\text{съкращаваме синусите}\\ \frac{|b|}{\sin (\beta )}& =& \frac{|a|}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Така доказахме част от синусовата теорема; доказателството за останалите комбинации на страни е аналогично.