Lei dos senos e lei dos cossenos

A lei dos senos é uma lei que — ao contrário das funções trigonométricas comuns — vale em um triângulo qualquer. Ela nos dá a relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos. A lei dos cossenos também vale em um triângulo qualquer, e um caso particular dela é o teorema de Pitágoras.

Lei dos senos

A lei dos senos nos diz que a razão entre o comprimento de cada lado e o seno do ângulo oposto a ele é constante em um dado triângulo qualquer (!). Escrevemos assim:

$\frac{a}{sen α} = \frac{b}{sen β} = \frac{c}{sen γ} = 2 r,$

em que r é o raio da circunferência circunscrita e a, b e c são os comprimentos dos lados do triângulo. Também podemos reescrever a igualdade anterior na forma:

$\frac{a}{b} = \frac{sen α}{sen β}, \frac{b}{c} = \frac{sen β}{sen γ}, \frac{c}{a} = \frac{sen γ}{sen α}$

Lei dos cossenos

A lei dos cossenos também vale em um triângulo qualquer, assim como a lei dos senos. A lei dos cossenos diz:

$\begin{array}{rcl} a^{2} & = & b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos α \\ b^{2} & = & c^{2} + a^{2} - 2 c a \cdot \cos β \\ c^{2} & = & a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos γ \end{array}$

Observe que, se um dos ângulos for reto, isto é, tiver medida de 90 graus, então em uma das fórmulas desaparece a última parte e obtemos a forma do teorema de Pitágoras. Porque, se α = 90°, então cos(α) = 0 e assim obtemos:

$\begin{array}{rcl} a^{2} & = & b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos α \\ a^{2} & = & b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot 0 \\ a^{2} & = & b^{2} + c^{2} \end{array}$

Motivação

Seja o triângulo ABC com o lado c de comprimento |c| = 9. As medidas dos ângulos são: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. A pergunta é: qual é o comprimento dos outros dois lados? Neste momento já não nos basta usar as funções trigonométricas comuns, porque elas funcionam em um triângulo retângulo, e este decididamente não é. Figura:

Calcule os comprimentos dos lados a e b

Neste momento teremos de usar outros caminhos. Um deles é justamente a lei dos senos. Como a usamos? A lei dos senos nos diz que:

$\frac{| a |}{sen α} = \frac{| b |}{sen β} = \frac{| c |}{sen γ}$

Nessa igualdade, conhecemos todos os ângulos e o comprimento do lado c. Calculamos, então, o lado b a partir da igualdade

$\frac{| b |}{sen β} = \frac{| c |}{sen γ}$

Aqui precisamos isolar o comprimento do lado b. Fazemos uma transformação equivalente da equação e multiplicamos a equação pelo seno do ângulo beta. Obtemos:

$| b | = \frac{| c | \cdot sen β}{sen γ}$

Conhecemos ou sabemos calcular todas as expressões do lado direito. Então substituímos:

$| b | = \frac{9 \cdot 0,985}{0,866} = 10, 23.$

Exatamente do mesmo modo calculamos o lado restante a:

$\frac{| a |}{sen α} = \frac{| c |}{sen γ}$

Isolamos |a| multiplicando a equação pelo seno do ângulo alfa.

$| a | = \frac{| c | \cdot sen α}{sen γ}$

Calculamos o resultado:

$| a | = \frac{9 \cdot 0,642}{0,866} = 6,672$

Demonstração da lei dos senos

Por que a lei dos senos vale? Olhemos para um triângulo ABC comum, no qual traçamos ainda a altura relativa ao lado c.

Triângulo ABC com a altura relativa ao lado c

A pergunta é: qual é o comprimento do segmento CP_c? Graças à altura, temos o triângulo ABC dividido em dois triângulos retângulos, por meio dos quais podemos expressar o comprimento da altura. Vamos tentar expressar o comprimento do segmento CP_c por meio dos dois triângulos. Vale que o seno do ângulo alfa é igual a:

$sen (α) = \frac{| C P_{c} |}{| A C |}$

Daí expressamos |CP_c|:

$| C P_{c} | = sen (α) \cdot | A C | = sen (α) \cdot | b | .$

Agora expressamos o comprimento do segmento CP_c por meio do outro triângulo, por meio do ângulo beta:

$sen (β) = \frac{| C P_{c} |}{| B C |}$

Daí de novo isolamos |CP_c|:

$| C P_{c} | = sen (β) \cdot | B C | = sen (β) \cdot | a |$

Neste momento temos, então, o comprimento da altura expresso por duas fórmulas:

$| C P_{c} | = sen (α) \cdot | b | = sen (β) \cdot | a |,$

então obtemos a igualdade

$sen (α) \cdot | b | = sen (β) \cdot | a | .$

Isso já está perto do que nos diz a lei dos senos. Dividimos toda a equação pelo seno de alfa vezes o seno de beta:

$\begin{array}{rcl} sen (α) \cdot | b | & = & sen (β) \cdot | a | / : sen (α) \cdot sen (β) \\ \frac{sen (α) \cdot | b |}{sen (α) \cdot sen (β)} & = & \frac{sen (β) \cdot | a |}{sen (α) \cdot sen (β)} / simplificamos os senos \\ \frac{| b |}{sen (β)} & = & \frac{| a |}{sen (α)} \end{array}$

No procedimento anterior demonstramos uma parte da lei dos senos; a demonstração para as demais combinações de lados, porém, é idêntica.

Capítulos: Funções trigonométricas, Circunferência trigonométrica, Funções trigonométricas inversas, Propriedades do seno, do cosseno, da tangente e da cotangente, Fórmulas trigonométricas, Gráficos das funções trigonométricas, Lei dos senos e lei dos cossenos

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