Teorema del seno y del coseno

El teorema del seno es un teorema que —a diferencia de las funciones trigonométricas habituales— se cumple en un triángulo cualquiera. Nos da una relación entre las longitudes de los lados y los ángulos. El teorema del coseno también se cumple en un triángulo cualquiera y tiene como caso particular el teorema de Pitágoras.

Teorema del seno

El teorema del seno nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante en un triángulo cualquiera (¡cualquiera!). Lo escribimos así:

$$\frac{a}{\mathrm{sen}\alpha }=\frac{b}{\mathrm{sen}\beta }=\frac{c}{\mathrm{sen}\gamma }=2r,$$

donde r es el radio de la circunferencia circunscrita y a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo. La igualdad anterior también se puede escribir así:

$$\frac{a}{b}=\frac{\mathrm{sen}\alpha }{\mathrm{sen}\beta },\frac{b}{c}=\frac{\mathrm{sen}\beta }{\mathrm{sen}\gamma },\frac{c}{a}=\frac{\mathrm{sen}\gamma }{\mathrm{sen}\alpha }$$

Teorema del coseno

El teorema del coseno también se cumple en un triángulo cualquiera, igual que el teorema del seno. El teorema del coseno dice:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ b^2& =& c^2+a^2-2ca\cdot \cos \beta \\ c^2& =& a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma \end{array}$$

Fíjate en que, si uno de los ángulos es recto, es decir, mide 90 grados, en una de las fórmulas desaparece el último término y obtenemos la forma del teorema de Pitágoras. En efecto, si α = 90°, entonces cos(α) = 0 y obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha \\ a^2& =& b^2+c^2-2bc\cdot 0\\ a^2& =& b^2+c^2\end{array}$$

Motivación

Sea un triángulo ABC con el lado c de longitud |c| = 9. Los ángulos miden: α = 40°, β = 80°, γ = 60°. La pregunta es: ¿cuál es la longitud de los otros dos lados? En este momento ya no nos bastan las funciones trigonométricas habituales, porque funcionan en un triángulo rectángulo, y este triángulo desde luego no lo es. La figura:

Ahora tendremos que recurrir a otros caminos. Uno de ellos es precisamente el teorema del seno. ¿Cómo lo usamos? El teorema del seno nos dice que:

$$\frac{|a|}{\mathrm{sen}\alpha }=\frac{|b|}{\mathrm{sen}\beta }=\frac{|c|}{\mathrm{sen}\gamma }$$

Conocemos todos los ángulos y la longitud del lado c. El lado b lo calculamos, pues, a partir de la igualdad

$$\frac{|b|}{\mathrm{sen}\beta }=\frac{|c|}{\mathrm{sen}\gamma }$$

Aquí tenemos que despejar la longitud del lado b. Hacemos una transformación equivalente de la ecuación y multiplicamos la ecuación por el seno del ángulo beta. Obtenemos:

$$|b|=\frac{|c|\cdot \mathrm{sen}\beta }{\mathrm{sen}\gamma }$$

Todas las expresiones del miembro derecho las conocemos o sabemos calcularlas. Así que sustituimos:

$$|b|=\frac{9\cdot \mathrm{0,985}}{\mathrm{0,866}}=10,23.$$

Exactamente del mismo modo calculamos el lado restante a:

$$\frac{|a|}{\mathrm{sen}\alpha }=\frac{|c|}{\mathrm{sen}\gamma }$$

Despejamos |a| multiplicando la ecuación por el seno del ángulo alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot \mathrm{sen}\alpha }{\mathrm{sen}\gamma }$$

Calculamos el resultado:

$$|a|=\frac{9\cdot \mathrm{0,642}}{\mathrm{0,866}}=\mathrm{6,672}$$

Demostración del teorema del seno

¿Por qué se cumple esta igualdad? Veamos un triángulo cualquiera ABC, en el que trazamos además la altura sobre el lado c.

La pregunta es qué longitud tiene el segmento CP_c. Gracias a la altura, el triángulo ABC queda dividido en dos triángulos rectángulos, con los que podemos expresar la longitud de la altura. Intentaremos, pues, expresar la longitud de CP_c con ambos triángulos. Se cumple que el seno del ángulo alfa es igual a:

$$\mathrm{sen}(\alpha )=\frac{|C{P}_c|}{|AC|}$$

De aquí expresamos |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\mathrm{sen}(\alpha )\cdot |AC|=\mathrm{sen}(\alpha )\cdot |b|.$$

Ahora expresamos la longitud de CP_c con el otro triángulo, mediante el ángulo beta:

$$\mathrm{sen}(\beta )=\frac{|C{P}_c|}{|BC|}$$

De aquí despejamos de nuevo |CP_c|:

$$|C{P}_c|=\mathrm{sen}(\beta )\cdot |BC|=\mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|$$

Así tenemos la longitud de la altura expresada con dos fórmulas:

$$|C{P}_c|=\mathrm{sen}(\alpha )\cdot |b|=\mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|,$$

de modo que obtenemos la igualdad

$$\mathrm{sen}(\alpha )\cdot |b|=\mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|.$$

Ya estamos cerca de lo que nos dice el teorema del seno. Dividimos toda la ecuación entre el producto del seno de alfa por el seno de beta:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(\alpha )\cdot |b|& =& \mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|/:\mathrm{sen}(\alpha )\cdot \mathrm{sen}(\beta )\\ \frac{\mathrm{sen}(\alpha )\cdot |b|}{\mathrm{sen}(\alpha )\cdot \mathrm{sen}(\beta )}& =& \frac{\mathrm{sen}(\beta )\cdot |a|}{\mathrm{sen}(\alpha )\cdot \mathrm{sen}(\beta )}/\text{simplificamos los senos}\\ \frac{|b|}{\mathrm{sen}(\beta )}& =& \frac{|a|}{\mathrm{sen}(\alpha )}\end{array}$$

En el procedimiento anterior hemos demostrado una parte del teorema del seno; no obstante, la demostración para las demás combinaciones de lados es idéntica.