Begränsningsarea av en pyramid

En pyramid är en tredimensionell kropp. Den har en bas som den står på och dessutom flera triangulära sidoytor. Basen är någon månghörning. Så här kan en pyramid se ut:

Regelbunden fyrsidig pyramid

Det här är en regelbunden fyrsidig pyramid. Den är regelbunden eftersom basen är en regelbunden månghörning, och fyrsidig eftersom basen är en fyrhörning — i det här fallet en kvadrat (kisa lite med ögonen för att se kvadraten 😆) — och därmed har pyramiden fyra triangulära sidoytor. Pyramidens begränsningsarea beräknar vi genom att beräkna basens area och sidoytornas area. Vi börjar med basens area:

Eftersom vi sa att basen är en regelbunden fyrhörning — med andra ord en kvadrat — använder vi formeln för arean av en kvadrat:

$$A_{◻}=a^2$$

Det var enkelt. Nu kommer den svårare delen — arean av en triangulär sidoyta. Vi beräknar arean av sidoytan ABF:

Sidoytan ABF är en triangel, och inte vilken som helst — en likbent triangel:

För att beräkna arean av en likbent triangel behöver vi känna triangelns höjd. Så snart vi känner höjden h i den likbenta triangeln kan vi beräkna dess area som

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Det här är alltså arean av en sidoyta på vår fyrsidiga pyramid. Arean av alla fyra sidoytor blir

$$A_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Nu kan vi beräkna hela pyramidens begränsningsarea, vi adderar basens och sidoytornas areor:

$$A=A_{◻}+A_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Begränsningsarea av en regelbunden n-sidig pyramid

En pyramid behöver förstås inte vara bara fyrsidig, den kan till exempel vara sexsidig:

Hur skulle vi beräkna begränsningsarean av en sådan pyramid? Arean av en sidoyta beräknar vi fortfarande på samma sätt som

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Men eftersom vi inte har fyra sidoytor utan sex ska vi multiplicera arean med sex. Om vi har en n-sidig pyramid multiplicerar vi med n:

$$A_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

Basens area beräknar vi sedan med formeln för arean av en regelbunden n-hörning:

$$A_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

där a är längden på basens sida och r är apotemet, alltså avståndet från månghörningens medelpunkt till en av dess sidor. Hela formeln skulle se ut så här:

$$A=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Det kan vi förenkla ytterligare till

$$A=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

Och vidare till

$$A=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$