Aire totale d’une pyramide

La pyramide est un solide en trois dimensions, comme celles d’Égypte. Elle a une base sur laquelle elle repose, puis plusieurs faces triangulaires. La base est un polygone. Voyons à quoi peut ressembler une pyramide :

Pyramide régulière à base carrée

Voici une pyramide régulière à base carrée. Elle est régulière parce que sa base est un polygone régulier, et à base carrée parce que la base est un quadrilatère, ici un carré (plisse un peu les yeux pour y voir le carré 😆), et la pyramide a donc quatre faces triangulaires. On calcule l’aire totale de la pyramide en calculant l’aire de la base et l’aire des faces. Commençons par l’aire de la base :

Comme la base est un quadrilatère régulier, autrement dit un carré, on utilise la formule de l’aire d’un carré :

$${\mathcal{A}}_{◻}=a^2$$

C’était facile. Voici maintenant la partie plus difficile : l’aire d’une face triangulaire. Calculons l’aire de la face ABF :

La face ABF est un triangle, et pas n’importe lequel : un triangle isocèle :

Pour calculer l’aire d’un triangle isocèle, il faut connaître la hauteur du triangle. Dès que l’on connaît la hauteur h du triangle isocèle, on calcule son aire ainsi :

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

C’est donc l’aire d’une seule face de notre pyramide à base carrée. L’aire des quatre faces est égale à

$${\mathcal{A}}_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

On peut maintenant calculer l’aire totale de la pyramide : on additionne les aires de la base et des faces :

$$\mathcal{A}={\mathcal{A}}_{◻}+{\mathcal{A}}_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Aire totale d’une pyramide régulière à n côtés

Bien sûr, la pyramide n’est pas forcément à base carrée, elle peut par exemple avoir une base hexagonale :

Comment calculer l’aire totale d’une telle pyramide ? L’aire d’une face se calcule toujours de la même façon :

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Mais comme on n’a pas quatre faces mais six, on multiplie cette aire par six. Pour une pyramide à n côtés, on multiplie par n :

$${\mathcal{A}}_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

On calcule ensuite l’aire de la base avec la formule de l’aire d’un polygone régulier à n côtés :

$${\mathcal{A}}_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

où a est la longueur d’un côté de la base et r la distance du centre du polygone à un côté (l’apothème du polygone). La formule complète s’écrit ainsi :

$$\mathcal{A}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

On peut encore la simplifier en

$$\mathcal{A}=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

puis en

$$\mathcal{A}=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$