Overfladeareal af pyramide

En pyramide er et tredimensionalt legeme. Den har en grundflade, som den står på, og derover nogle trekantede sideflader. Grundfladen er en eller anden mangekant. Lad os se, hvordan sådan en pyramide kan se ud:

Regulær firesidet pyramide

Det her er en regulær firesidet pyramide. Den er regulær, fordi dens grundflade er en regulær mangekant, og firesidet, fordi grundfladen er en firkant — i dette tilfælde et kvadrat (knib lidt øjnene sammen, så du kan se kvadratet 😆) — og derfor har pyramiden fire trekantede sideflader. Overfladearealet af pyramiden beregner vi ved at beregne grundfladens areal og sidefladernes areal. Vi begynder med grundfladens areal:

Da vi har sagt, at grundfladen er en regulær firkant — med andre ord et kvadrat — bruger vi formlen til at beregne arealet af et kvadrat:

$$A_{\mathrm{g}}=a^2$$

Det var nemt. Nu kommer den sværere del — arealet af en trekantet sideflade. Lad os beregne arealet af sidefladen ABF:

Sidefladen ABF er en trekant, og ikke en hvilken som helst — en ligebenet trekant:

For at beregne arealet af en ligebenet trekant skal vi kende trekantens højde. Så snart vi kender højden h i den ligebenede trekant, kan vi beregne dens areal som

$$T=\frac{a\cdot h}{2}$$

Det er altså arealet af én sideflade af vores firesidede pyramide. Arealet af alle fire sideflader bliver lig med

$$4T=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Nu kan vi beregne overfladearealet af hele pyramiden, vi lægger grundfladens og sidefladernes arealer sammen:

$$O=A_{\mathrm{g}}+4T=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Overfladeareal af en regulær n-sidet pyramide

En pyramide behøver naturligvis ikke kun at være firesidet, den kan for eksempel være sekssidet:

Hvordan ville vi beregne overfladearealet af sådan en pyramide? Arealet af én sideflade beregner vi stadig på samme måde som

$$T=\frac{a\cdot h}{2}$$

Men da vi ikke har fire sideflader, men seks, skal vi gange dette areal med seks. Har vi en n-sidet pyramide, ganger vi med n:

$$nT=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

Grundfladens areal beregner vi derefter ved formlen til at beregne arealet af en regulær n-kant:

$$A_{\mathrm{g}}=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

hvor a er længden af en kant og r er afstanden fra mangekantens centrum til dens side. Hele formlen ville se sådan ud:

$$O=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Det kan vi forenkle yderligere til

$$O=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

Og videre til

$$O=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$