Лице на повърхнина на пирамида

Пирамидата е тримерно тяло, което прилича на египетските пирамиди. Има основа, на която стои, и после няколко триъгълни стени. Основата е някакъв многоъгълник. Да видим как може да изглежда такава пирамида:

Правилна четириъгълна пирамида

Това е правилна четириъгълна пирамида. Правилна е, защото основата ѝ е правилен многоъгълник, а четириъгълна, защото основата е четириъгълник, в този случай квадрат (присвий малко очи, за да видиш там квадрата 😆), и поради това пирамидата има четири триъгълни стени. Лицето на повърхнината на пирамидата пресмятаме, като пресметнем лицето на основата и лицето на стените. Започваме с лицето на основата:

Тъй като казахме, че основата е правилен четириъгълник, с други думи квадрат, използваме формулата за лицето на квадрат:

$$B=a^2$$

Това стана лесно. Сега идва по-трудната част, лицето на триъгълната стена. Да пресметнем лицето на стената ABF:

Стената ABF е триъгълник и то не какъв да е, а равнобедрен триъгълник:

За да пресметнем лицето на равнобедрен триъгълник, трябва да знаем височината на триъгълника. Щом знаем височината k на равнобедрения триъгълник (при пирамидата тя се нарича апотема), можем да пресметнем лицето му като

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot k}{2}$$

Това е лицето на една стена на нашата четириъгълна пирамида. Лицето на всичките четири стени, тоест лицето на околната повърхнина, ще бъде

$$S=4\cdot \frac{a\cdot k}{2}=2\cdot a\cdot k$$

Сега можем да пресметнем лицето на повърхнината на цялата пирамида, събираме лицата на основата и на стените:

$$S_1=B+S=a^2+2\cdot a\cdot k$$

Лице на повърхнината на правилна n-ъгълна пирамида

Пирамидата, разбира се, не е нужно да е само четириъгълна, може да бъде например шестоъгълна:

Как бихме пресметнали лицето на повърхнината на такава пирамида? Лицето на една стена пресмятаме все така като

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot k}{2}$$

Но тъй като нямаме четири стени, а шест, ще умножим това лице по шест. Ако имаме n-ъгълна пирамида, ще умножаваме по n:

$$S=n\cdot \frac{a\cdot k}{2}$$

Лицето на основата след това пресмятаме по формулата за лицето на правилен n-ъгълник:

$$B=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

където a е дължината на ръба на основата, а r е разстоянието от центъра на многоъгълника до страната му (радиусът на вписаната окръжност). Цялата формула би изглеждала така:

$$S_1=n\cdot \frac{a\cdot k}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Това можем още да опростим до

$$S_1=n\cdot \left(\frac{a\cdot k+a\cdot r}{2}\right)$$

И нататък до

$$S_1=n\cdot a\cdot \frac{k+r}{2}$$