Superficie della piramide

La piramide è un solido tridimensionale che ha la forma delle piramidi egizie. Ha una base su cui poggia e poi alcune facce triangolari. La base è un poligono. Vediamo che aspetto può avere una piramide:

Piramide quadrangolare regolare

Questa è una piramide quadrangolare regolare. È regolare perché la sua base è un poligono regolare ed è quadrangolare perché la base è un quadrilatero – in questo caso un quadrato (strizza un po’ gli occhi per vederci il quadrato 😆) – e di conseguenza la piramide ha quattro facce triangolari. La superficie della piramide la calcoliamo sommando l’area di base e l’area delle facce. Cominciamo dall’area di base:

Poiché abbiamo detto che la base è un quadrilatero regolare – in altre parole un quadrato – usiamo la formula per l’area del quadrato:

$$A_b=a^2$$

Questo è stato facile. Ora viene la parte più difficile: l’area della faccia triangolare. Calcoliamo l’area della faccia ABF:

La faccia ABF è un triangolo e non un triangolo qualsiasi, ma un triangolo isoscele:

Per calcolare l’area di un triangolo isoscele ci serve conoscere l’altezza del triangolo. Quando conosciamo l’altezza h del triangolo isoscele (nella piramide è l’apotema della piramide), possiamo calcolarne l’area come

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Questa è dunque l’area di una faccia della nostra piramide quadrangolare. L’area di tutte e quattro le facce sarà uguale a

$$A_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Ora possiamo calcolare la superficie dell’intera piramide, sommando le aree della base e delle facce:

$$A_t=A_b+A_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Superficie di una piramide regolare a base di n lati

Naturalmente la piramide non deve essere per forza quadrangolare, può essere per esempio esagonale:

Come calcoleremmo la superficie di una piramide così? L’area di una faccia si calcola sempre allo stesso modo:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Ma poiché non abbiamo quattro facce, bensì sei, moltiplicheremo questa area per sei. Se abbiamo una piramide a base di n lati, moltiplicheremo per n:

$$A_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

L’area di base si calcola poi con la formula per l’area di un poligono regolare di n lati:

$$A_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot a_p}{2}$$

dove a è la lunghezza del lato e a_p è l’apotema del poligono, cioè la distanza del centro del poligono da un suo lato. La formula completa sarebbe questa:

$$A_t=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot a_p}{2}$$

Possiamo ancora semplificarla in

$$A_t=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot a_p}{2}\right)$$

E poi in

$$A_t=n\cdot a\cdot \frac{h+a_p}{2}$$