Pyramidin pinta-ala

Pyramidi on kolmiulotteinen kappale, joka näyttää Egyptin pyramideilta. Sillä on pohja, jonka päällä se seisoo, ja sen lisäksi useita kolmionmuotoisia tahkoja. Pohjana on jokin monikulmio. Katsotaan, miltä tällainen pyramidi voi näyttää:

Säännöllinen nelisivuinen pyramidi

Tämä on säännöllinen nelisivuinen pyramidi. Se on säännöllinen siksi, että sen pohja on säännöllinen monikulmio, ja nelisivuinen siksi, että pohja on nelikulmio — tässä tapauksessa neliö (siristä silmiäsi vähän, niin näet siinä neliön 😆) — ja siksi pyramidilla on neljä kolmionmuotoista tahkoa. Pyramidin pinta-ala lasketaan laskemalla pohjan ja tahkojen pinta-alat yhteen. Aloitetaan pohjan pinta-alasta:

Koska todettiin, että pohjana on säännöllinen nelikulmio — toisin sanoen neliö — käytetään neliön pinta-alan kaavaa:

$$A_{◻}=a^2$$

Se meni helposti. Nyt tulee hankalampi osa — kolmionmuotoisen tahkon pinta-ala. Lasketaan tahkon ABF pinta-ala:

Tahko ABF on kolmio, eikä mikä tahansa — se on tasakylkinen kolmio:

Tasakylkisen kolmion pinta-alan laskemiseen tarvitaan kolmion korkeusjana. Kun tasakylkisen kolmion korkeus h tunnetaan, sen pinta-ala voidaan laskea kaavalla

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Tämä on siis nelisivuisen pyramidin yhden tahkon pinta-ala. Kaikkien neljän tahkon pinta-ala on

$$A_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Nyt voidaan laskea koko pyramidin pinta-ala, kun lasketaan yhteen pohjan ja tahkojen pinta-alat:

$$A=A_{◻}+A_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Säännöllisen n-sivuisen pyramidin pinta-ala

Pyramidin ei tietenkään tarvitse olla vain nelisivuinen, se voi olla vaikka kuusisivuinen:

Miten tällaisen pyramidin pinta-ala lasketaan? Yhden tahkon pinta-ala lasketaan edelleen samalla tavalla:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Mutta koska tahkoja ei ole neljä vaan kuusi, tämä pinta-ala kerrotaan kuudella. Jos pyramidi on n-sivuinen, kerrotaan luvulla n:

$$A_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

Pohjan pinta-ala lasketaan sen jälkeen säännöllisen n-kulmion pinta-alan kaavalla:

$$A_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

missä a on pohjan sivun pituus ja r on monikulmion keskipisteen etäisyys sen sivusta. Koko kaava näyttäisi tältä:

$$A=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Tätä voidaan vielä yksinkertaistaa muotoon

$$A=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

Ja edelleen muotoon

$$A=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$