Piramidin Yüzey Alanı

Piramit, adından da anlaşılacağı gibi bir Mısır piramidine benzeyen üç boyutlu bir cisimdir. Üzerinde durduğu bir tabanı ve birkaç üçgen yüzü vardır. Tabanı bir çokgendir. Böyle bir piramidin nasıl görünebileceğine bakalım:

Düzgün dörtgen piramit

Bu, düzgün dörtgen bir piramittir. Düzgün olmasının sebebi tabanının düzgün bir çokgen olmasıdır; dörtgen olmasının sebebi ise tabanın bir dörtgen — bu örnekte kare — olmasıdır (gözünü biraz kıs da oradaki kareyi gör 😆); dolayısıyla piramidin dört üçgen yüzü vardır. Piramidin yüzey alanını, taban alanı ile yüzlerin alanını hesaplayarak buluruz. Taban alanıyla başlayalım:

Tabanın düzgün bir dörtgen — başka bir deyişle kare — olduğunu söylediğimiz için karenin alanı formülünü kullanırız:

$$A_{◻}=a^2$$

Bu kolay oldu. Şimdi zor kısım geliyor — üçgen yüzün alanı. ABF yüzünün alanını hesaplayalım:

ABF yüzü bir üçgendir ve sıradan bir üçgen değil — ikizkenar üçgendir:

İkizkenar üçgenin alanını hesaplamak için üçgenin yüksekliğini bilmemiz gerekir. İkizkenar üçgenin h yüksekliğini bildiğimiz anda alanını

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

olarak hesaplayabiliriz.

Bu, dörtgen piramidimizin bir yüzünün alanıdır. Dört yüzün toplam alanı

$$A_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

olur.

Şimdi tüm piramidin yüzey alanını hesaplayabiliriz; taban alanıyla yüzlerin alanını toplarız:

$$A=A_{◻}+A_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Düzgün n kenarlı piramidin yüzey alanı

Piramit elbette yalnızca dörtgen olmak zorunda değildir, örneğin altıgen de olabilir:

Böyle bir piramidin yüzey alanını nasıl hesaplarız? Bir yüzün alanını yine aynı şekilde

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

hesaplarız. Ancak dört değil altı yüzümüz olduğundan bu alanı 6 ile çarparız. n kenarlı bir piramidimiz varsa n ile çarparız:

$$A_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

Taban alanını ise düzgün n kenarlı çokgenin alanı formülüyle hesaplarız:

$$A_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

burada a taban kenarının uzunluğu, r ise çokgenin merkezinin kenarına uzaklığıdır (apotem). Formülün tamamı şöyle olur:

$$A=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Bunu şu hâle sadeleştirebiliriz:

$$A=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

ve daha da şuna:

$$A=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$