Área de la pirámide

La pirámide es un cuerpo geométrico tridimensional. Tiene una base sobre la que se apoya y después varias caras triangulares. La base es un polígono. Veamos qué aspecto puede tener una pirámide:

Pirámide cuadrangular regular

Esta es una pirámide cuadrangular regular. Es regular porque su base es un polígono regular y es cuadrangular porque la base es un cuadrilátero —en este caso un cuadrado (entrecierra un poco los ojos para ver ahí el cuadrado 😆)— y, por tanto, la pirámide tiene cuatro caras triangulares. El área de la pirámide la calculamos calculando el área de la base y el área de las caras. Empezamos por el área de la base:

Como hemos dicho que la base es un cuadrilátero regular —dicho de otro modo, un cuadrado—, usamos la fórmula para calcular el área del cuadrado:

$$A_B=a^2$$

Eso ha sido fácil. Ahora viene la parte más difícil: el área de la cara triangular. Calculemos el área de la cara ABF:

La cara ABF es un triángulo y no uno cualquiera, sino un triángulo isósceles:

Para calcular el área de un triángulo isósceles necesitamos conocer la altura del triángulo. Cuando conocemos la altura h del triángulo isósceles, podemos calcular su área como

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Esta es, por tanto, el área de una cara de nuestra pirámide cuadrangular. El área de las cuatro caras será igual a

$$A_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Ahora podemos calcular el área de toda la pirámide, sumando las áreas de la base y de las caras:

$$A_T=A_B+A_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Área de una pirámide regular de base n-gonal

Por supuesto, la pirámide no tiene por qué ser solo cuadrangular, puede ser, por ejemplo, hexagonal:

¿Cómo calcularíamos el área de una pirámide así? El área de una cara se calcula siempre igual:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Pero como no tenemos cuatro caras, sino seis, multiplicaremos esta área por seis. Si tenemos una pirámide de base n-gonal, multiplicaremos por n:

$$A_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

El área de la base se calcula entonces según la fórmula para calcular el área de un polígono regular de n lados:

$$A_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

donde a es la longitud de la arista y r es la distancia del centro del polígono a su lado. La fórmula completa sería así:

$$A_T=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Eso todavía podemos simplificarlo a

$$A_T=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

Y después a

$$A_T=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$