Aria totală a piramidei

Piramida este un corp tridimensional care arată ca o piramidă egipteană. Are o bază pe care stă și apoi mai multe fețe triunghiulare. Baza este un poligon oarecare. Să vedem cum poate arăta o astfel de piramidă:

Piramida patrulateră regulată

Aceasta este o piramidă patrulateră regulată. Este regulată pentru că baza ei este un poligon regulat, iar patrulateră pentru că baza este un patrulater – în acest caz un pătrat (strânge puțin ochii, ca să vezi acolo pătratul 😆) – și, prin urmare, piramida are patru fețe triunghiulare. Aria totală a piramidei o calculăm calculând aria bazei și aria fețelor. Începem cu aria bazei:

Deoarece am spus că baza este un patrulater regulat – altfel spus un pătrat – folosim formula pentru aria pătratului:

$${\mathcal{A}}_{◻}=a^2$$

Asta a mers ușor. Acum vine partea mai grea – aria unei fețe triunghiulare. Să calculăm aria feței ABF:

Fața ABF este un triunghi și nu unul oarecare – un triunghi isoscel:

Pentru a calcula aria triunghiului isoscel, avem nevoie de înălțimea triunghiului. În momentul în care cunoaștem înălțimea triunghiului isoscel – la piramidă se numește apotema piramidei și se notează a_p –, îi putem calcula aria ca

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot a_p}{2}$$

Aceasta este deci aria unei fețe a piramidei noastre patrulatere. Aria tuturor celor patru fețe va fi egală cu

$${\mathcal{A}}_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot a_p}{2}=2\cdot a\cdot a_p$$

Acum putem calcula aria totală a întregii piramide, adunând ariile bazei și ale fețelor:

$${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_{◻}+{\mathcal{A}}_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot a_p$$

Aria totală a piramidei regulate cu n laturi la bază

Piramida, desigur, nu trebuie să fie doar patrulateră, poate fi de exemplu hexagonală:

Cum am calcula aria totală a unei astfel de piramide? Aria unei fețe o calculăm în continuare la fel, ca

$${\mathcal{A}}_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot a_p}{2}$$

Dar, deoarece nu avem patru fețe, ci șase, vom înmulți această arie cu șase. Dacă avem o piramidă cu n laturi la bază, vom înmulți cu n:

$${\mathcal{A}}_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot a_p}{2}$$

Aria bazei o calculăm apoi după formula pentru aria unui poligon regulat cu n laturi:

$${\mathcal{A}}_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot a_b}{2}$$

unde a este lungimea laturii bazei, iar a_b este apotema bazei, adică distanța de la centrul poligonului la latura sa. Întreaga formulă ar arăta astfel:

$${\mathcal{A}}_t=n\cdot \frac{a\cdot a_p}{2}+n\cdot \frac{a\cdot a_b}{2}$$

Aceasta o putem simplifica în continuare la

$${\mathcal{A}}_t=n\cdot \left(\frac{a\cdot a_p+a\cdot a_b}{2}\right)$$

Și mai departe la

$${\mathcal{A}}_t=n\cdot a\cdot \frac{a_p+a_b}{2}$$