Oberfläche einer Pyramide

Die Pyramide ist ein dreidimensionaler Körper, der aussieht wie die Pyramiden in Ägypten. Sie hat eine Grundfläche, auf der sie steht, und mehrere dreieckige Seitenflächen. Die Grundfläche ist ein Vieleck. Schauen wir uns an, wie eine solche Pyramide aussehen kann:

Regelmäßige quadratische Pyramide

Das ist eine regelmäßige vierseitige (quadratische) Pyramide. Regelmäßig ist sie, weil ihre Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist, und vierseitig, weil die Grundfläche ein Viereck ist – in diesem Fall ein Quadrat (kneif ein bisschen die Augen zusammen, damit du das Quadrat dort siehst 😆) –, und deshalb hat die Pyramide vier dreieckige Seitenflächen. Die Oberfläche der Pyramide berechnen wir, indem wir den Flächeninhalt der Grundfläche und der Seitenflächen berechnen. Wir beginnen mit dem Flächeninhalt der Grundfläche:

Da wir gesagt haben, dass die Grundfläche ein regelmäßiges Viereck ist – anders gesagt ein Quadrat –, verwenden wir die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats:

$$A_{◻}=a^2$$

Das war einfach. Jetzt kommt der schwierigere Teil – der Flächeninhalt einer dreieckigen Seitenfläche. Berechnen wir den Flächeninhalt der Seitenfläche ABF:

Die Seitenfläche ABF ist ein Dreieck, und zwar kein beliebiges – ein gleichschenkliges Dreieck:

Um den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen, müssen wir die Höhe des Dreiecks kennen. Sobald wir die Höhe h des gleichschenkligen Dreiecks kennen, können wir seinen Flächeninhalt berechnen als

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Das ist also der Flächeninhalt einer Seitenfläche unserer vierseitigen Pyramide. Der Flächeninhalt aller vier Seitenflächen ist gleich

$$A_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Jetzt können wir die Oberfläche der ganzen Pyramide berechnen, indem wir die Flächeninhalte der Grundfläche und der Seitenflächen addieren:

$$A_O=A_{◻}+A_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Oberfläche einer regelmäßigen n-seitigen Pyramide

Die Pyramide muss natürlich nicht nur vierseitig sein, sie kann zum Beispiel auch sechsseitig sein:

Wie würden wir die Oberfläche einer solchen Pyramide berechnen? Den Flächeninhalt einer Seitenfläche berechnen wir weiterhin als

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Aber da wir nicht vier, sondern sechs Seitenflächen haben, multiplizieren wir diesen Flächeninhalt mit sechs. Haben wir eine n-seitige Pyramide, multiplizieren wir mit n:

$$A_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

Den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen wir dann nach der Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks:

$$A_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

wobei a die Kantenlänge ist und r der Abstand des Mittelpunkts des Vielecks von seiner Seite. Die ganze Formel sähe so aus:

$$A_O=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Das können wir noch vereinfachen zu

$$A_O=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

Und weiter zu

$$A_O=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$