Área total da pirâmide

A pirâmide é um sólido tridimensional que parece, bem, uma pirâmide. Ela tem uma base, sobre a qual se apoia, e depois várias faces triangulares. A base é formada por algum polígono. Vamos ver como pode ser uma pirâmide assim:

Pirâmide quadrangular regular

Esta é uma pirâmide quadrangular regular. Ela é regular porque a sua base é formada por um polígono regular, e é quadrangular porque a base é formada por um quadrilátero — neste caso, um quadrado (franza um pouco os olhos para enxergar o quadrado aí 😆) — e, com isso, a pirâmide tem quatro faces triangulares. Para calcular a área total da pirâmide, calculamos a área da base e a área das faces. Começamos pela área da base:

Como dissemos que a base é formada por um quadrilátero regular — em outras palavras, um quadrado —, usamos a fórmula para o cálculo da área do quadrado:

$$A_{◻}=a^2$$

Essa foi fácil. Agora vem a parte mais difícil — a área da face triangular. Vamos calcular a área da face ABF:

A face ABF é formada por um triângulo, e não por um triângulo qualquer — um triângulo isósceles:

Para calcular a área de um triângulo isósceles, precisamos conhecer a altura do triângulo. Quando conhecemos a altura h do triângulo isósceles, podemos calcular a sua área como

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Essa é, portanto, a área de uma face da nossa pirâmide quadrangular. A área de todas as quatro faces será igual a

$$A_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Agora podemos calcular a área total da pirâmide inteira, somando as áreas da base e das faces:

$$A_t=A_{◻}+A_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Área total da pirâmide regular de base n-gonal

A pirâmide, claro, não precisa ser só quadrangular, pode ser, por exemplo, hexagonal:

Como calcularíamos a área total dessa pirâmide? Continuamos calculando a área de uma face do mesmo jeito, como

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Mas, como não temos quatro faces, e sim seis, multiplicamos essa área por seis. Se temos uma pirâmide de base n-gonal, multiplicamos por n:

$$A_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

Depois calculamos a área da base pela fórmula da área de um polígono regular de n lados:

$$A_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

em que a é o comprimento da aresta da base e r é a distância do centro do polígono até o seu lado (o apótema da base). A fórmula completa ficaria assim:

$$A_t=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Podemos simplificar isso ainda mais, para

$$A_t=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

E depois para

$$A_t=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$