Oppervlakte van een piramide

Een piramide is een driedimensionaal lichaam dat eruitziet als een Egyptische piramide. Hij heeft een grondvlak waarop hij staat en daarbovenop een aantal driehoekige zijvlakken. Het grondvlak is een veelhoek. Laten we kijken hoe zo'n piramide eruit kan zien:

Regelmatige vierzijdige piramide

Dit is een regelmatige vierzijdige piramide. Regelmatig omdat zijn grondvlak een regelmatige veelhoek is, en vierzijdig omdat het grondvlak een vierhoek is — in dit geval een vierkant (knijp je ogen maar een beetje dicht om dat vierkant te zien 😆) — en daardoor heeft de piramide vier driehoekige zijvlakken. De totale oppervlakte van de piramide berekenen we door de oppervlakte van het grondvlak en de oppervlakte van de zijvlakken te berekenen. We beginnen met de oppervlakte van het grondvlak:

Omdat we hebben gezegd dat het grondvlak een regelmatige vierhoek is — anders gezegd een vierkant — gebruiken we de formule voor de oppervlakte van een vierkant:

$${\text{opp.}}_{◻}=a^2$$

Dat ging gemakkelijk. Nu komt het lastigere deel — de oppervlakte van een driehoekig zijvlak. Laten we de oppervlakte van zijvlak ABF berekenen:

Zijvlak ABF wordt gevormd door een driehoek en niet zomaar een — een gelijkbenige driehoek:

Om de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek te berekenen, moeten we de hoogte van de driehoek kennen. Zodra we de hoogte h van de gelijkbenige driehoek kennen, kunnen we zijn oppervlakte berekenen als

$${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Dit is dus de oppervlakte van één zijvlak van onze vierzijdige piramide. De oppervlakte van alle vier de zijvlakken is gelijk aan

$${\text{opp.}}_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Nu kunnen we de totale oppervlakte van de hele piramide berekenen, we tellen de oppervlaktes van het grondvlak en van de zijvlakken op:

$$\text{opp.}={\text{opp.}}_{◻}+{\text{opp.}}_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Oppervlakte van een regelmatige n-zijdige piramide

Een piramide hoeft natuurlijk niet alleen vierzijdig te zijn, hij kan bijvoorbeeld ook zeszijdig zijn:

Hoe zouden we de oppervlakte van zo'n piramide berekenen? De oppervlakte van één zijvlak berekenen we nog steeds als

$${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Maar omdat we geen vier zijvlakken hebben maar zes, vermenigvuldigen we deze oppervlakte met zes. Hebben we een n-zijdige piramide, dan vermenigvuldigen we met n:

$${\text{opp.}}_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

De oppervlakte van het grondvlak berekenen we daarna met de formule voor de oppervlakte van een regelmatige n-hoek:

$${\text{opp.}}_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

waarbij a de lengte van een zijde van het grondvlak is en r de afstand van het middelpunt van de veelhoek tot een zijde (de apothema). De hele formule zou er zo uitzien:

$$\text{opp.}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Dat kunnen we nog vereenvoudigen tot

$$\text{opp.}=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

En verder tot

$$\text{opp.}=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$