Gúla felszíne

A gúla háromdimenziós test, amely egy piramishoz hasonlít. Van egy alaplapja, amelyen áll, és több háromszög alakú oldallapja. Az alapot valamilyen sokszög alkotja. Nézzük meg, hogyan nézhet ki egy gúla:

Négyzet alapú egyenes gúla

Ez egy szabályos négyoldalú gúla. Azért szabályos, mert az alapja szabályos sokszög, és azért négyoldalú, mert az alapja négyszög – ebben az esetben négyzet (hunyorítsd össze egy kicsit a szemed, hogy meglásd benne a négyzetet 😆) –, és ezért a gúlának négy háromszög alakú oldallapja van. A gúla felszínét úgy számítjuk ki, hogy kiszámítjuk az alap és az oldallapok területét. Kezdjük az alap területével:

Mivel azt mondtuk, hogy az alapot szabályos négyszög – másképp mondva négyzet – alkotja, a négyzet területének képletét használjuk:

$$T_{◻}=a^2$$

Ez könnyen ment. Most jön a nehezebb rész – a háromszög alakú oldallap területe. Számítsuk ki az ABF oldallap területét:

Az ABF oldallapot egy háromszög alkotja, méghozzá nem akármilyen – egy egyenlő szárú háromszög:

Ahhoz, hogy kiszámítsuk az egyenlő szárú háromszög területét, ismernünk kell a háromszög magasságát. Ha ismerjük az egyenlő szárú háromszög m magasságát, a területét így számíthatjuk ki:

$$T_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot m}{2}$$

Ez tehát a négyoldalú gúlánk egy oldallapjának területe. Mind a négy oldallap együttes területe

$$T_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot m}{2}=2\cdot a\cdot m$$

Most már kiszámíthatjuk az egész gúla felszínét, összeadjuk az alap és az oldallapok területét:

$$A=T_{◻}+T_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot m$$

Szabályos n oldalú gúla felszíne

A gúla természetesen nemcsak négyoldalú lehet, lehet például hatoldalú is:

Hogyan számítanánk ki egy ilyen gúla felszínét? Egy oldallap területét továbbra is ugyanúgy számítjuk ki:

$$T_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot m}{2}$$

Csakhogy nem négy, hanem hat oldallapunk van, ezért ezt a területet hatszorosan vesszük. Ha n oldalú gúlánk van, n-nel szorzunk:

$$T_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot m}{2}$$

Az alap területét ezután a szabályos n-szög területének képletével számítjuk ki:

$$T_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

ahol a az alapél hossza, r pedig a sokszög középpontjának távolsága az oldalától. A teljes képlet így nézne ki:

$$A=n\cdot \frac{a\cdot m}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Ezt még egyszerűsíthetjük a következőre:

$$A=n\cdot \left(\frac{a\cdot m+a\cdot r}{2}\right)$$

És tovább erre:

$$A=n\cdot a\cdot \frac{m+r}{2}$$