Εμβαδόν επιφάνειας πυραμίδας

Η πυραμίδα είναι τρισδιάστατο στερεό που μοιάζει με πυραμίδα της Αιγύπτου. Έχει μια βάση, πάνω στην οποία στέκεται, και στη συνέχεια αρκετές τριγωνικές έδρες. Τη βάση την αποτελεί κάποιο πολύγωνο. Ας δούμε πώς μπορεί να μοιάζει μια τέτοια πυραμίδα:

Κανονική τετραγωνική πυραμίδα

Αυτή είναι μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα. Κανονική είναι επειδή τη βάση της αποτελεί κανονικό πολύγωνο και τετραγωνική επειδή η βάση αποτελείται από τετράπλευρο – σε αυτή την περίπτωση τετράγωνο (μισόκλεισε λίγο τα μάτια για να δεις εκεί το τετράγωνο 😆) – και έτσι η πυραμίδα έχει τέσσερις τριγωνικές έδρες. Το εμβαδόν της επιφάνειας της πυραμίδας το βρίσκουμε υπολογίζοντας το εμβαδόν της βάσης και το εμβαδόν των εδρών. Ξεκινάμε από το εμβαδόν της βάσης:

Επειδή είπαμε ότι τη βάση την αποτελεί κανονικό τετράπλευρο – με άλλα λόγια τετράγωνο – χρησιμοποιούμε τον τύπο για το εμβαδόν τετραγώνου:

$$E_{◻}=a^2$$

Αυτό ήταν εύκολο. Τώρα έρχεται το πιο δύσκολο κομμάτι – το εμβαδόν της τριγωνικής έδρας. Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν της έδρας ABF:

Η έδρα ABF αποτελείται από ένα τρίγωνο και μάλιστα όχι τυχαίο – ισοσκελές τρίγωνο:

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου, πρέπει να γνωρίζουμε το ύψος του τριγώνου. Μόλις γνωρίζουμε το ύψος υ του ισοσκελούς τριγώνου, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του ως

$$E_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot \upsilon }{2}$$

Αυτό είναι λοιπόν το εμβαδόν μιας έδρας της τετραγωνικής πυραμίδας μας. Το εμβαδόν και των τεσσάρων εδρών θα είναι ίσο με

$$E_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot \upsilon }{2}=2\cdot a\cdot \upsilon$$

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν της επιφάνειας ολόκληρης της πυραμίδας, προσθέτοντας τα εμβαδά της βάσης και των εδρών:

$$E_{o\lambda }=E_{◻}+E_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot \upsilon$$

Εμβαδόν επιφάνειας κανονικής ν-γωνικής πυραμίδας

Η πυραμίδα φυσικά δεν χρειάζεται να είναι μόνο τετραγωνική, μπορεί να είναι για παράδειγμα εξαγωνική:

Πώς θα υπολογίζαμε το εμβαδόν της επιφάνειας μιας τέτοιας πυραμίδας; Το εμβαδόν μιας έδρας το υπολογίζουμε πάντα με τον ίδιο τρόπο, ως

$$E_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot \upsilon }{2}$$

Επειδή όμως δεν έχουμε τέσσερις έδρες, αλλά έξι, θα πολλαπλασιάσουμε αυτό το εμβαδόν επί έξι. Αν έχουμε ν-γωνική πυραμίδα, θα πολλαπλασιάσουμε επί ν:

$$E_{\nu \mathrm{△}}=\nu \cdot \frac{a\cdot \upsilon }{2}$$

Το εμβαδόν της βάσης το υπολογίζουμε στη συνέχεια από τον τύπο για το εμβαδόν κανονικού ν-γώνου:

$$E_{\nu \diamond }=\nu \cdot \frac{a\cdot \rho }{2}$$

όπου a είναι το μήκος της ακμής και ρ είναι η απόσταση του κέντρου του πολυγώνου από την πλευρά του. Ολόκληρος ο τύπος θα έμοιαζε έτσι:

$$E_{o\lambda }=\nu \cdot \frac{a\cdot \upsilon }{2}+\nu \cdot \frac{a\cdot \rho }{2}$$

Αυτό μπορούμε να το απλοποιήσουμε ακόμη σε

$$E_{o\lambda }=\nu \cdot \left(\frac{a\cdot \upsilon +a\cdot \rho }{2}\right)$$

Και περαιτέρω σε

$$E_{o\lambda }=\nu \cdot a\cdot \frac{\upsilon +\rho }{2}$$