Overflate av pyramide

En pyramide er en tredimensjonal romfigur som ser ut som en pyramide fra Egypt. Den har en grunnflate som den står på, og så har den flere trekantede sideflater. Grunnflaten er en mangekant. La oss se hvordan en slik pyramide kan se ut:

Regulær firkantet pyramide

Dette er en regulær firkantet pyramide. Den er regulær fordi grunnflaten er en regulær mangekant, og den er firkantet fordi grunnflaten er en firkant – i dette tilfellet et kvadrat (mys litt med øynene, så ser du kvadratet 😆) – og dermed har pyramiden fire trekantede sideflater. Overflaten av pyramiden regner vi ut ved å regne ut arealet av grunnflaten og arealet av sideflatene. Vi begynner med arealet av grunnflaten:

Siden vi har sagt at grunnflaten er en regulær firkant – med andre ord et kvadrat – bruker vi formelen for arealet av et kvadrat:

$$A_{◻}=a^2$$

Det gikk lett. Nå kommer den vanskeligere delen – arealet av en trekantet sideflate. La oss regne ut arealet av sideflaten ABF:

Sideflaten ABF er en trekant, og ikke hvilken som helst – en likebeint trekant:

For å regne ut arealet av en likebeint trekant må vi kjenne høyden i trekanten. Så snart vi kjenner høyden h i den likebeinte trekanten, kan vi regne ut arealet som

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Dette er altså arealet av én sideflate i den firkantede pyramiden vår. Arealet av alle fire sideflatene blir

$$A_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Nå kan vi regne ut overflaten av hele pyramiden ved å legge sammen arealene av grunnflaten og sideflatene:

$$O=A_{◻}+A_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Overflate av en regulær n-sidet pyramide

En pyramide trenger selvsagt ikke bare være firkantet, den kan for eksempel være sekssidet:

Hvordan ville vi regnet ut overflaten av en slik pyramide? Arealet av én sideflate regner vi fortsatt ut som

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot h}{2}$$

Men siden vi ikke har fire sideflater, men seks, må vi gange dette arealet med seks. Hvis vi har en n-sidet pyramide, ganger vi med n:

$$A_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}$$

Arealet av grunnflaten regner vi deretter ut etter formelen for arealet av en regulær n-kant:

$$A_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

der a er lengden av kanten og r er avstanden fra sentrum av mangekanten til en av sidene. Hele formelen ville se slik ut:

$$O=n\cdot \frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Det kan vi forenkle ytterligere til

$$O=n\cdot \left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

Og videre til

$$O=n\cdot a\cdot \frac{h+r}{2}$$