Honnan jön az Euler-féle szám

Az Euler-féle szám az egyik legismertebb matematikai állandó, a π számmal együtt. Megnézzük, hogyan jutottunk el ehhez a számhoz, és mit jelent.

A tizenhetedik században a svájci matematikus, Jakob Bernoulli a kamatos kamat problémájával foglalkozott. Képzeljük el, hogy van egy forintunk, amelyet beteszünk egy bankba, amely 100%-os éves kamatot kínál. Ez a banktól ugyan merő őrültség, de mit meg nem tenne a matematikáért. Mennyi pénzünk lesz a számlán pontosan egy év múlva? Hát, két forintunk.

Hogyan változna a helyzet, ha a bank 50%-os kamatot kínálna, amelyet félévente írna jóvá? Ez nekünk előnyösebb lenne, vagy kevésbé?

Az első fél év után a felével több pénzünk lenne. A „felével több” kifejezést a matematikában így írjuk: $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. Az x helyére a betétünket, vagyis az egy forintot írjuk, és kiszámoljuk:

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Fél év után 1,5 forint van a számlánkon. A második fél év után ismét a felével több lenne. Ugyanazt a képletet használjuk, csak az x helyére az új egyenlegünket, azaz az 1,5 értéket írjuk:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Egy év után tehát 2,25 forint van a számlánkon. A gyakoribb kamatozás kisebb kamattal tehát kedvező számunkra.

Havi kamatozás

Mi lenne, ha a bank minden hónapban kamatozna, de a kamat az eredeti kamat egy tizenketted részére csökkenne? Hű, itt már számolni kell egy kicsit. Mennyi lesz az egyenlegünk az első hónap után? „Egy tizenketted résszel több” pénzünk lesz, amit így írunk: $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Az első hónap után tehát ennyink lesz:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

A második hónap után:

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Figyeld meg azonban, hogy az 1,0833333 helyett az $1\cdot (1+\frac{1}{12})$ alakot is használhatjuk, hiszen tudjuk, hogy ezek egyenlők:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

A harmadik hónap után a számlánkon ennyi lesz:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Ahogy látod, a számolásunk egy bizonyos mintát követ. A zárójeles kifejezés annyiszor ismétlődik, ahányadik hónapnál éppen tartunk. Az előző kifejezést egyszerűsíthetjük: három egyforma zárójel helyett egyet írunk, és azt a harmadik hatványra emeljük:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Az elején az eggyel való szorzás is felesleges, ezért elhagyjuk:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Ha most a tizenkét hónap utáni egyenleget akarjuk kiszámolni, a kitevőben a hármas helyett egyszerűen a 12-t írjuk:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Tizenkét hónap után körülbelül 2,6130352 forint van a számlánkon. Ez nem rossz! És sokkal jobb, mint amikor az éves 100%-os kamatot kaptuk.

Folytonos kamatozás

Nem kell megállnunk a hónapoknál. Mennyink lenne, ha hetente kamatoztatnánk, az eredeti kamat $\frac{1}{52}$ részével? Mivel a képletet már ismerjük, egyszerűen behelyettesítünk:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

És napi kamatozással?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Óránkénti kamatozással? (Az évben 8760 óra van.)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Látjuk, hogy valahányszor kisebb kamatot veszünk, de gyakrabban kamatoztatunk vele, a végén egy kicsit több pénzünk lesz a számlán. A növekedések azonban már nem olyan nagyok. Így a végtelenségig folytathatnánk. Sőt, ez valójában nem is rossz ötlet – kamatoztathatnánk percenként, másodpercenként, ezredmásodpercenként, nanomásodpercenként… egészen addig, amíg eljutnánk oda, hogy folyamatosan kamatoztatunk. Lenne egy folytonos, parányi kamatunk, amellyel az egyenleget minden pillanatban kamatoztatnánk. Mennyi pénz lenne ebben az esetben a számlánkon egy év után?

Vissza az Euler-féle számhoz

Ezt a kérdést próbálta Jakob Bernoulli kiszámolni. Szerencsétlenségére nem sikerült neki, csak a 18. században sikerült a híres matematikusnak, Leonhard Eulernek. Ő kiszámolta, hogy egy év után a számlánkon

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

forint lenne. Látod, hogy ez már nem sokkal több, mint amikor a kamatot óránként írtuk jóvá. És mivel kiderült, hogy ez az egyenleg, ez a szám a matematika különböző területein nagyon fontos, ma is Euler-féle számnak nevezzük, és az e betűvel jelöljük. Az Euler-féle szám irracionális szám, vagyis olyan szám, amelynek a tizedes tört alakja végtelen és nem szakaszos. Hasonlóan például a π számhoz. Sosem fogod tehát a maga teljességében látni. Mégis pontosan meghatározhatjuk az Euler-féle számot a függvény határértéke segítségével:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Források és hivatkozások

• A Numberphile angol nyelvű csatorna kiváló epizódja az Euler-féle számról.
• Hogyan számoljuk ki a jelzáloghitel kamatait