Откъде идва числото на Ойлер

Числото на Ойлер е една от най-известните математически константи, заедно например с числото Пи – π. Ще разкажем как стигнахме до това число и какво означава.

През седемнадесети век швейцарският математик Якоб Бернули се интересуваше от сложната лихва. Нека си представим, че имаме едно евро, което слагаме в банка, която ни предлага 100% годишна лихва. От страна на банката това е чиста лудост, но какво ли не би направила тя за доброто на математиката. Колко пари ще имаме по сметката точно след една година? Ами ще имаме две евро.

Как би се променила ситуацията, ако банката ни предложи 50% лихва, която се олихвява на всеки шест месеца? Би ли било по-изгодно за нас, или по-неизгодно?

След първите шест месеца бихме имали с половина повече. „С половина повече“ в математиката записваме като $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. Вместо x заместваме нашия влог, тоест едно евро, и пресмятаме

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

След шест месеца имаме по сметката 1,5 евро. След втората половин година бихме имали отново с още половина повече. Използваме същата формула, само че вместо x заместваме новата ни наличност, т.е. 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

След една година имаме по сметката 2,25 евро. По-честото олихвяване с по-ниска лихва е следователно изгодно за нас.

Олихвяване всеки месец

Ами ако банката ни предложи олихвяване всеки месец, но лихвата спадне до една дванадесета от първоначалната? Уф, тук вече ще смятаме доста. Каква наличност ще имаме след първия месец? Ще имаме „с една дванадесета повече“, което записваме като $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. След първия месец ще имаме:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

След втория месец ще имаме

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Забележи обаче, че вместо числото 1,0833333 можем да използваме записа $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, защото знаем, че тези числа са равни:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

След третия месец ще имаме по сметката:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Както виждаш, нашето пресмятане следва определен модел. Изразът в скобите се повтаря толкова пъти, колкото е месецът, който пресмятаме. Предишния израз можем да опростим, като вместо три еднакви скоби напишем една и я повдигнем на трета степен:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

А и умножението по единица в началото е излишно, затова го махаме:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Ако сега искаме да пресметнем наличността след дванадесет месеца, просто в степенния показател вместо тройката използваме числото 12:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

След дванадесет месеца имаме по сметката приблизително 2,6130352 евро. Това не е зле! И е много по-добре, отколкото когато имахме годишна лихва от 100%.

Непрекъсната лихва

Не е нужно да спираме при месеците. Колко бихме имали, ако олихвявахме всяка седмица с лихва с размер $\frac{1}{52}$ от първоначалната? Тъй като вече знаем формулата, просто заместваме:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Дневна лихва?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Почасова лихва? (Годината има 8760 часа)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Виждаме, че винаги когато вземем по-ниска лихва и олихвяваме по-често, накрая имаме малко повече пари по сметката. Но нарастването вече не е толкова голямо. Така бихме могли да продължим до безкрайност. Ами това всъщност не е лоша идея – бихме могли да олихвяваме всяка минута, всяка секунда, всяка милисекунда, всяка наносекунда… докато стигнем до състояние, в което олихвяваме непрекъснато. Щяхме да имаме непрекъсната мъничка лихва, с която олихвяваме наличността във всеки миг. Колко пари бихме имали в такъв случай след една година по сметката?

Обратно към числото на Ойлер

Това е въпросът, който Якоб Бернули се опитваше да пресметне. За негово съжаление обаче не успя, а го направи едва през 18. век прочутият математик Леонхард Ойлер. Той пресметна, че след една година бихме имали по сметката

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

евро. Виждаш, че вече не е много повече, отколкото когато добавяхме лихвата всеки час. И тъй като се оказа, че тази наличност, това число, е много важно в различни области на математиката, то се нарича и до днес числото на Ойлер и го означаваме с буквата e. Числото на Ойлер е ирационално число, тоест число, което има безкраен непериодичен десетичен запис. Подобно например на числото π. Затова никога няма да го видиш цялото. Въпреки това можем да определим числото на Ойлер точно чрез граница на функция:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Източници и връзки

• Страхотен епизод на англоезичния канал Numberphile за числото на Ойлер.
• Как да изчислим лихвите по ипотека