Защо 0,999… е равно на 1

Числото 0,999…, след чиято десетична запетая следват безкрайно много деветки, е равно на едно. Не приблизително, не „почти“, а точно. Повечето хора не му вярват от първия път, а споровете за това единствено число са едни от най-честите спорове за математиката в интернет. Ще покажем няколко доказателства и накрая ще разберем защо интуицията продължава да ни подсказва обратното.

Както всяко периодично число, и това можем да запишем с черта над цифрата, която се повтаря:

$0, \overset{―}{9} = 1$

В училище периодът по-често се огражда в кръгли скоби: 0,(9) = 1.

Чрез третините

Тръгваме от дроб, която не създава грижи на никого. Ако разделим единица на три, получаваме периодично число:

$\frac{1}{3} = 0,333 \dots$

Сега умножаваме по три двете страни на равенството. Отляво получаваме

$3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1.$

Отдясно умножаваме всяка тройка поотделно. Тъй като 3 · 3 = 9 и никаква единица не се пренася в по-висок разред, получаваме

$3 \cdot 0,333 \dots = 0,999 \dots$

Лявите страни са равни и затова трябва да са равни и дясните: 1 = 0,999… Който приема 0,333… за третина, не може да отхвърли и това.

Чрез умножение по десет

Този подход вече срещнахме в статията за рационалните числа, където със същия подход се преобразува периодично число в дроб. Означаваме нашето число с a:

$a = 0, \overset{―}{9}$

Умножаваме по десет. Запетаята се премества с едно място надясно и след нея продължават да стоят безкрайно много деветки:

$10 a = 9, \overset{―}{9}$

От него изваждаме a и всички деветки след запетаята взаимно се съкращават:

$9 a = 9$

Остава да разделим на девет:

$a = 1$

Каква е разликата?

Ако 0,999… и 1 се различаваха, разликата им щеше да е някакво положително число. Да се опитаме да я намерим. Първо вземаме само краен брой деветки:

$\begin{array}{rcl} 1 - 0, 9 & = & 0, 1 \\ 1 - 0, 99 & = & 0, 01 \\ 1 - 0,999 & = & 0,001 \end{array}$

Всяка следваща деветка намалява разликата десет пъти. Горе на фигурата е числовата ос от нула до едно със синя точка в 0,9 и с червена отсечка, която още липсва до единицата. Всяка следваща ос увеличава тази отсечка десет пъти и затова сините точки лежат последователно в 0,9, 0,99 и 0,999:

Частта, която липсва до единицата при числата с една, две и три деветки, всеки път увеличена десет пъти

Избираме произволно малко положително число, например една милиардна: при достатъчно деветки разликата ще е още по-малка. В 0,999… обаче деветките са всичките наведнъж, безкрайно много, така че разликата трябва да е по-малка от всяко положително число. Но няма положително число, което да е по-малко от всички положителни числа, тъй като би трябвало да е по-малко и от собствената си половина. Следователно разликата може да е само нула.

Често възражение е, че разликата е 0,000…01, тоест безкрайно много нули и накрая единица. Но безкрайно дългата поредица от нули няма край и затова няма къде да се запише единицата.

Между тях не се побира нищо

Между които и да са две различни реални числа винаги намираме още едно число, например средното им аритметично. Между 0,5 и 0,6 лежи 0,55, между 0,5 и 0,55 пък 0,525. Това важи за всяка двойка различни числа, колкото и близо да са едно до друго: средното им аритметично винаги се побира между тях.

Кое число би лежало между 0,999… и 1? Трябва да е по-голямо от 0,999… и същевременно по-малко от едно, така че би започвало с нула и запетая. Поне една негова цифра след запетаята тогава би трябвало да е по-голяма от девет, а такава няма. Между двете числа не се побира нищо, така че те са равни.

Като безкраен сбор

Десетичният запис всъщност е сбор: 0,999… означава девет десети плюс девет стотни плюс девет хилядни и така нататък:

$0,999 \dots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \dots$

Всяко събираемо е една десета от предишното, т.е. събираме членовете на геометрична прогресия с първи член $a_{1} = \frac{9}{10}$ и частно $q = \frac{1}{10}$ . Частното е по абсолютна стойност по-малко от едно и затова безкрайният сбор има крайна стойност, която пресмятаме по формулата

$S = \frac{a_{1}}{1 - q} .$

Заместваме:

$S = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1$

Точно казано, сборът на безкраен ред е граница на сборовете на първите му членове, тоест на редицата 0,9; 0,99; 0,999; … Тя се приближава към едно и записът 0,999… означава именно тази граница. На това се опират и предишните доказателства.

Защо не искаме да му вярваме

Интуицията бърка „много деветки“ с „безкрайно много деветки“. Числото 0,999 с три деветки наистина е по-малко от едно, както и числото с милион деветки. Отпечатано, то би заело няколкостотин страници и въпреки това пак би му липсвало нещо до единицата. Но $0, \overset{―}{9}$ не е много деветки, които някъде свършват. То никога не свършва и затова не му липсва нищо.

Често си представяме 0,999… и като процес: деветките непрекъснато се добавят и числото се прокрадва към единицата. Числото обаче никъде не се движи. Всичките деветки в него са там от самото начало и стойността не се променя.

Втората спънка е, че едно число би имало два различни записа. Но това познаваме и от дробите:

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{50}{100} = 0, 5$

И както записваме половината с различни дроби, за 0,5 съществува още един десетичен запис:

$0, 5 = 0,499 9 \dots$

Два записа има всяко число с краен десетичен запис с изключение на нулата, например 0,25 = 0,24999… или 7 = 6,999… Не става дума за две числа, а за едно число в две премени.

Виж още

« Предишна: Рационални числа

Следваща: Ирационални числа »