Kalkulačka: šance na výhru v loterii

Ve Sportce se ze 49 čísel losuje šest a vy si šest čísel vsadíte. Hlavní cenu vyhrajete, když trefíte všech šest, menší výhry jsou za tři, čtyři nebo pět uhodnutých čísel. Kalkulačka spočítá, s jakou pravděpodobností trefíte právě m čísel v libovolné loterii, kde vsázíte tolik čísel, kolik se jich táhne.

Jak se to počítá

Kalkulačka počítá podle vzorce

$P (m) = \frac{(\binom{k}{m}) \cdot (\binom{n - k}{k - m})}{(\binom{n}{k})}$

Tady n je počet čísel v osudí, k počet tažených (a zároveň vsazených) čísel a m počet čísel, která chcete trefit.

Nejdřív spočítáme, kolik různých šestic může z osudí vypadnout. Na pořadí losování nezáleží, takže jde o kombinace:

$(\binom{49}{6}) = 13 983 816$

Všech šest čísel trefíte jen jedním způsobem, a to když vsadíte přesně vylosovanou šestici. Šance na hlavní cenu je tedy 1:13 983 816, což je asi 0,00000715 %.

U menšího počtu trefených čísel musíme spočítat i to, kolika způsoby se dají vybrat ta netrefená. Pro tři trefená čísla vybereme tři ze šesti vylosovaných a zbylá tři ze 43 nevylosovaných:

$P (3) = \frac{(\binom{6}{3}) \cdot (\binom{43}{3})}{(\binom{49}{6})} = \frac{20 \cdot 12 341}{13 983 816} = \frac{246 820}{13 983 816} ≐ 0,017 7$

Tři čísla trefíte zhruba v jednom tahu z 57. Pro čtyři čísla vychází šance asi 1:1 032 a pro pět 1:54 201. Sportka má ještě dodatkové číslo, které rozhoduje o druhém pořadí, to kalkulačka nepočítá. Jak je to v loterii se dvěma osudími, najdete v článku o Eurojackpotu.

Kapitoly: Kombinační číslo, Variace s opakováním, Permutace s opakováním, Kombinace s opakováním, Šance na výhru v loterii, Narozeninový paradox, Aspoň jednou, Binomické rozdělení