수열

수열은 정의역이 자연수의 집합인 함수이다. 정의역이 자연수의 집합 전체이면 무한수열, 정의역이 자연수의 유한한 부분집합뿐이면 유한수열이다. 유한수열이라고 따로 말하지 않으면 무한수열로 생각한다.

수열의 정의

이 절은 수열의 정의가 무슨 뜻인지 조금 설명한다. 꼭 알아야 하는 것은 아니므로 원하면 이 절 전체를 건너뛰어도 된다.

서론에서 이미 말했듯이 수열은 정의역이 자연수인 함수이다. 치역은 아무 집합이나 될 수 있지만, 여기서는 실수의 집합으로 생각한다. 무슨 뜻일까? 가장 눈에 띄는 차이는 함수의 그래프에서 나타난다. 보통의 함수처럼 이어진 선이 아니라, 수열의 점들이 따로따로 흩어져 있을 뿐이다.

예를 들어 수 1, 3, 5, 7, 9, 11, …의 나열은 수열이다. 꽤 분명하게 정해진 수열이고, 어떻게 이어지는지 누구나 알 것이다. 함수이므로 이 수열의 대응을 나타낸 표는 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

첫째 열의 수(정의역의 값)는 그 수가 수열에서 몇 번째인지 나타낸다. 예를 들어 이 간단한 수열에서 5는 셋째 자리에 있다. 표도 정확히 그렇게 알려 준다. 수열의 넷째 자리에는 7이, 첫째 자리에는 1이 있고, 나머지도 마찬가지이다. 여기서 유한수열 p의 정의역은 다음 꼴의 집합이어야 한다는 것도 알 수 있다.

$$D(p)=\{1,2,3,\dots ,n\},$$

그래야 정말 순서를 나타내고 어떤 자리도 빠지지 않는다. 예를 들어 다음 집합은

$$D(p)=\{1,2,3,5,7\}$$

넷째 원소와 여섯째 원소가 빠졌으므로 수열의 정의역으로 알맞지 않다.

따라서 수열의 항들은 순서대로 늘어놓을 수 있고, 첫째 항과 마지막 항을 빼면 각 항에 앞의 항과 다음 항이 있다는 특징이 있다. 이 점이 실수 함수와 크게 다르다. 실수 함수에서는 그런 것이 성립하지 않는다. 함수 f(x) = 2x에서 f(5/2) 다음에는 어떤 값이 올까? 알 수 없다. 결과는 실수이고, 실수에는 바로 다음 수가 없다.

수열을 나타내는 방법

간단히 말해 수열은 번호를 붙여 늘어놓은 수라는 것을 알았다. 이제 수열을 어떻게 나타내는지 보자. 수열 자체는 보통 a_i처럼 아래 첨자를 붙인 소문자로 나타낸다.

첫 번째 방법은 수열의 모든 값을 나열하는 것이다. 앞 절에서 이미 보았다. 나열은 유한할 수도 있고 무한할 수도 있다.

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

참고: 수열에 어떤 괄호를 쓰는지는 확실히 모르겠고, 통일된 관례도 찾지 못했다. 중괄호는 쓰지 않는 편이 좋을 것 같다. 중괄호는 순서가 상관없는 집합을 나타내지만, 수열에서는 항의 순서가 중요하기 때문이다. (한국의 교과서에서는 수열을 {a_n}으로 나타낸다.)

두 번째 방법은 수열의 n번째 항, 즉 일반항의 식을 쓰는 것이다. 예를 들어 수열 a_n에는 모든 짝수가 들어 있었다. 이것을 식으로 나타내면 다음과 같다.

$$a_n=2n.$$

아래 첨자 n은 수열의 몇 번째 항을 구하는지 나타낸다. 첫째 항을 알고 싶으면 a₁을, 일곱째 항을 알고 싶으면 a₇을 구한다. 일곱째 항은 식에 대입해서 구한다.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

이 방법은 수열의 어떤 항이든 바로 구할 수 있어서 편리하다. 또 다른 방법은 귀납적 정의(점화식)로 나타내는 것이다. 귀납적 정의를 쓰면 지금 항을 알 때 다음 항을 구할 수 있다. 즉 항 a_n을 알면 항 a_{n + 1}을 구할 수 있다.

수열을 귀납적으로 정의하려면 두 가지를 알려 주어야 한다. 첫째 항이 무엇인지, 그리고 (n + 1)번째 항을 구하는 식이다. 짝수인 자연수의 수열을 귀납적으로 정의하려면 다음과 같이 할 수 있다.

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

이제 어떻게 계산할까? a₁은 2이다. 이제 n에 1을 대입하면 a₂는 a₁에 2를 더해서 구한다. 두 번째 짝수인 4가 나온다. 이렇게 계속한다.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

귀납적 정의는 수열의 꽤 많은 부분을 만들어 내야 할 때 편리하다. 반대로 어떤 구체적인 항을 구할 때는 알맞지 않다. 100번째 짝수를 구하려면 그 앞의 짝수 99개를 모두 먼저 구해야 하기 때문이다.

마지막 방법은 그래프로 수열을 나타내는 것이다.

분명히 해 두면, 수열에 꼭 간단한 식이 있어야 하는 것은 아니고, “그럴듯한” 수의 나열일 필요도 없다. 다음 수의 나열도 언뜻 아무 의미가 없어 보이지만 수열이다.

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

수열의 그래프

수열의 그래프는 보통의 실수 함수의 그래프와 다르다. 정의역이 자연수이므로 그래프는 따로 떨어진 점들로 이루어진다.

등차수열

등차수열은 이웃한 항 사이의 차가 일정한 간단한 수열이다. 예를 들어 각 항이 앞의 항보다 3씩 크거나 17씩 작다. 이웃한 항의 차를 공차라고 하고 d로 나타낸다. 앞의 경우에는 공차가 3, 뒤의 경우에는 −17이고, 짝수의 수열이라면 공차가 2이다. 따라서 등차수열을 식으로 나타내면 다음과 같다.

$$a_{n+1}=a_n+d$$

등차수열의 일반항의 공식은 다음과 같다.

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

예로 다시 짝수를 보자. 공차가 2이고 첫째 짝수도 2이다. 그러면 첫째 항에 2를 더해서 둘째 짝수를 얻는다. 2를 한 번 더 더하면 셋째 짝수를 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

예를 들어 일곱째 짝수를 구하려면 일반항의 공식에 다음과 같이 대입한다.

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

어떤 수열이 등차수열인지는 어떻게 알까? (n + 1)번째 항의 식에서 n번째 항의 식을 빼서 공차가 나오면 등차수열이다. 예를 들어 다음 수열이 있다고 하자.

$$a_n=2n+7.$$

이 수열은 등차수열일까? 먼저 (n + 1)번째 항을 나타낸다.

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

이제 두 식을 뺀다.

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

빼서 d = 2를 얻었으므로 공차가 2인 등차수열이다.

등차수열의 합

등차수열의 처음 몇 항의 합을 구해야 할 때가 많다. 어떻게 할까? 직관적으로는 대략 다음과 같다. 짝수로 계속 보자. 처음 세 짝수, 즉 2, 4, 6의 합은 얼마일까? 물론 차례로 더할 수도 있지만, 그러기보다 공식을 원한다.

수열을 이렇게 바꾼다. 첫째 항에 2를 더하고 마지막 항에서 2를 뺀다. 그러면 4, 4, 4가 된다. 같은 수가 세 개이므로 4에 항의 개수, 즉 3을 곱하기만 하면 된다. 즉 4 · 3 = 12이다.

항이 다섯 개이면 2, 4, 6, 8, 10이다. 양 끝 항에는 4를 더하고 빼고, 그 안쪽 항에는 2를 더하고 뺀다.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

이번에도 곱하기만 하면 된다. 6 · 5 = 30이다. 무엇을 알 수 있을까? 언제나 수열의 항의 개수에 수열의 가운데 항을 곱한다. 수열 2, 4, 6에서는 가운데가 4였고, 수열 2, 4, 6, 8, 10에서는 가운데가 6이었다. 가운데 항(이를 p라고 하자)은 일반적으로 어떻게 구할까? 수열의 첫째 항과 마지막 항의 평균으로 구한다.

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

예를 들어 두 번째 수열에서는 다음과 같다.

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

따라서 수열 a_n의 처음 n개 항의 합의 공식은 다음과 같다.

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

이끌어 낼 때는 항의 개수가 홀수인 경우만 썼지만, 이 공식은 항의 개수가 짝수일 때도 성립한다.

공차 구하기

수열의 두 항을 알 때 공차는 어떻게 구할까? 짝수로 계속 보자. 수열의 다음 두 항을 안다고 하자.

$$a_3=6,a_7=14.$$

공차는 어떻게 구할까? 먼저 두 항의 차를 구한다.

$$a_7-a_3=14-6=8$$

이제 이 결과를 아는 두 항 사이의 걸음 수, 즉 첨자의 차로 나누기만 하면 된다.

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

공차는 2이다. 수열의 두 항 a_k와 a_l을 알 때 공차 d를 구하는 공식은 다음과 같다.

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

등차수열의 그래프는 일정하게 증가하거나 일정하게 감소한다. 그래프의 점들은 한 직선 위에 있다.

등비수열

등비수열은 이웃한 두 항의 차가 아니라 비가 일정하다는 점에서 앞의 등차수열과 다르다. 이 비는 등차수열처럼 공차라고 하지 않고 공비라고 하며, r로 나타낸다. 예를 들어 r = 10이고 첫째 항이 5인 수열이 있을 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

일반적으로 다음 공식이 성립한다.

$$a_{n+1}=a_n\cdot r$$

등비수열의 일반항의 공식은 다음과 같다.

$$a_n=a_1\cdot r^{n-1}$$

예를 들어 앞의 수열의 셋째 항은 다음과 같이 구한다.

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot r^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot r^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

등비수열은 공비에 따라 다시 두 무리로 나눌 수 있다. 공비의 절댓값이 1보다 작으면 수열 전체가 0에 가까워진다. 이런 수열은 수렴한다고 한다. 반대로 공비의 절댓값이 1 이상이면 수열은 0에 가까워지지 않고, 이런 수열을 발산하는 수열이라고 한다. 수렴하는 등비수열에서는 모든 항의 합(등비급수)에 대한 간단한 공식이 성립한다(발산하는 경우에는 유한한 합이 없으므로 수렴하는 경우에만 성립한다).

$$S_a=\frac{a_1}{1-r}.$$

등비수열 a_n의 처음 i개 항의 합의 공식은 다음과 같다.

$$S_i=a_1\cdot \frac{r^i-1}{r-1}$$

공식을 이끌어 내는 과정은 위키백과에서 읽을 수 있다.

공비가 1이거나 0인 경우를 빼면, 등비수열의 그래프는 한 직선 위에 있지 않은 따로 떨어진 점들의 집합이다. 등비수열의 전형적인 그래프는 다음과 같다.

공비가 음수이면 그래프는 두 갈래가 된다.