함수의 성질

함수는 정의역 M의 각 수 x에 치역 N의 수 y를 오직 하나씩 대응시키는 규칙이다. 함수는 보통 y = f(x) 꼴로 쓰거나 f:y = x처럼 나타내며, 여기서 변수 x를 함수의 독립변수라고 한다.

정의역과 치역

모든 함수는 정의역도 정해야 한다. 정의역은 변수 x에 넣을 수 있는 모든 값의 집합, 즉 변수 x가 가질 수 있는 모든 값이다. 이 글에서는 함수 f의 정의역을 D(f)로 나타낸다.

간단한 예를 보자. f:y = x에서는 정의역이 실수 전체의 집합, 즉 D(f) = ℝ이다. 다른 예로 $f:y=\frac{1}{x}$에서는 정의역이 0을 제외한 실수 전체의 집합이다. 0으로는 나눌 수 없어서 식이 의미를 잃기 때문이다. 즉 D(f) = ℝ ∖ {0}이다.

치역도 마찬가지로 가능한 모든 y의 집합, 즉 함수 f의 값이 될 수 있는 모든 원소의 집합이다. 다시 간단한 예를 보자. 함수 f:y = x에서는 y가 이 집합의 어떤 값이든 가질 수 있으므로 치역은 집합 ℝ이다. 그런데 다른 함수 f:y = |x|(절댓값)를 보자. 이번에는 치역이 구간 [0, +∞)이다. 절댓값의 정의에 따라 y가 예를 들어 −5가 되는 일은 결코 없기 때문이다.

집합 A에서 집합 B로의 대응이라는 말로 하면, 집합 A는 정의역이고 집합 B는 함숫값이 속하는 공역이며, 치역은 공역의 부분집합이다.

함수의 증가와 감소

함수의 증가와 감소는 주어진 구간에서 함수가 증가하는지, 감소하는지, 증가하지 않는지, 감소하지 않는지, 상수인지, 또는 그 어느 것도 아닌지를 정하는 성질이다.

이 성질은 그래프에서 가장 잘 읽을 수 있다. 그래프가 내려가는 것처럼 보이면 감소하는 함수이고, 올라가면 증가하는 함수이다. 정말 간단하다 :-). 정의는 다음과 같다. 함수 f가 있고 x₁, x₂ ∈ D(f)라고 하자. 그러면

• x₁ < x₂일 때 f(x₁) < f(x₂)이면 함수 f는 증가한다.
• x₁ < x₂일 때 f(x₁) > f(x₂)이면 함수 f는 감소한다. (정의가 똑같아 보이지만, 첫 번째는 함숫값 사이에 <, 두 번째는 >가 있다.)

증가하는 함수 f(x) = ln(x)의 그래프를 보자.

x₁ < x₂가 되도록 x₁, x₂를 고르면 f(x₁) < f(x₂)도 성립한다는 것을 알 수 있다. 이번에는 예를 들어 구간 (0, ∞)에서 감소하는 함수 $f(x)=\frac{1}{x}$의 그래프를 보자.

여기서는 x₁ < x₂일 때 함숫값은 거꾸로 f(x₁) > f(x₂)이다. x₁이 x₂보다 작은데도 더 큰 함숫값을 “만든다”.

나머지 정의도 보자.

• x₁ < x₂일 때 f(x₁) ≤ f(x₂)이면 함수 f는 감소하지 않는다. (증가하는 함수의 정의와 비슷하지만, 함수가 어떤 부분에서 일정한 값을 가져도 된다.)
• x₁ < x₂일 때 f(x₁) ≥ f(x₂)이면 함수 f는 증가하지 않는다.
• 치역이 원소가 하나인 집합이면, 즉 어떤 두 x₁, x₂에 대해서도 f(x₁) = f(x₂)이면 함수 f는 상수함수이다.

증가하지 않는 함수의 예로 함수 f(x) = |x|−x가 있다.

구간 (−∞, 0)에서는 함수가 감소하지만, 나머지 구간에서는 함숫값이 일정하다(0이다). 따라서 정의역 전체에서 보면 증가하지 않는 함수이다.

우함수와 기함수

어떤 함수는 일정한 조건에서 우함수나 기함수가 된다. 그래프를 알면 가장 빨리 알 수 있다. 우함수는 y축에 대하여 대칭이고, 기함수는 원점 (0, 0)에 대하여 대칭이다. 우함수의 예로 y = x², 기함수의 예로 y = 2x가 있다. 정의는 다음과 같다. 함수 f는

• 모든 x ∈ D(f)에 대하여 f(x) = f(−x)이면 우함수,
• 모든 x ∈ D(f)에 대하여 −f(x) = f(−x)이면 기함수이다.

우함수와 기함수는 우함수와 기함수 글에서 따로 다룬다.

일대일함수

일대일함수는 모든 함숫값이 서로 달라서 같은 함숫값이 두 번 나오지 않는 함수이다. 정의는 다음과 같다.

모든 x₁, x₂ ∈ D(f)에 대하여 다음이 성립하면 함수 f는 일대일함수이다.

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

함수의 정의역에서 서로 다른 두 x를 고르면 그 함숫값은 언제나 달라야 한다.

그래프로는 언제나처럼 아주 쉽게 알 수 있다. x축에 평행한 직선을 그었을 때 그래프와 많아야 한 점에서 만나야 한다. 일대일함수의 예로 일차함수 y = 3x가 있다. 그런 직선을 어떻게 그어도 그래프와 한 점에서만 만난다. 반대로 사인 함수는 그래프가 물결 모양이어서, 직선 $y=\frac{1}{2}$을 그으면 그래프와 무수히 많은 점에서 만난다. 따라서 일대일함수가 아니다.

유계함수

함수는 위로 유계이거나, 아래로 유계이거나, 위아래로 모두 유계일 수 있다. 위아래로 모두 유계인 함수를 간단히 유계함수라고 한다. 함수 f의 모든 함숫값보다 큰 실수 A를 찾을 수 있으면 함수 f는 위로 유계이다. 아래로 유계인 함수도 마찬가지이다. 정의는 다음과 같다.

• 모든 x ∈ D(f)에 대하여 A > f(x)를 만족하는 A ∈ ℝ이 있으면 함수 f는 위로 유계이다.
• 모든 x ∈ D(f)에 대하여 A < f(x)를 만족하는 A ∈ ℝ이 있으면 함수 f는 아래로 유계이다.

그래프로는 함수의 그래프 전체보다 위나 아래에 있는, x축에 평행한 직선(가로선)을 찾는다고 생각하면 된다.

그림은 아래로 유계인 함수 f(x) = x⁴의 그래프이다. 그래프에 “가장 가까운” A를 찾을 필요는 전혀 없고, 그래프 아래에 아무 직선이나 그으면 된다는 점에 주목하자.

최댓값과 최솟값

정의역의 점 M에서의 함숫값이 함수의 모든 함숫값 가운데 가장 크면, 함수 f는 점 M에서 최댓값을 갖는다. 최솟값도 마찬가지이다. 정의는 다음과 같다.

• 모든 x ∈ D(f)에 대하여 f(x) ≤ f(M)이면, 즉 점 M에서 함숫값이 가장 크면 함수 f는 점 M ∈ D(f)에서 최댓값을 갖는다. 최댓값을 갖는 점이 하나뿐이면 이를 강한 의미의 최댓값이라고 한다.
• 모든 x ∈ D(f)에 대하여 f(x) ≥ f(m)이면, 즉 점 m에서 함숫값이 가장 작으면 함수 f는 점 m ∈ D(f)에서 최솟값을 갖는다.

그래프에서는 최댓값과 최솟값을 꽤 쉽게 찾을 수 있다. 함수가 가장 낮거나 가장 높은 곳을 보면 된다. 물론 함수에는 최솟값도 최댓값도 없을 수 있고, 최솟값만 있거나 최댓값만 있을 수도 있다. 또 극값만 있고 정의역 전체에서는 최댓값이나 최솟값이 없을 수도 있다.

최솟값과 최댓값을 구하려면 미분을 이용한다. 자세한 방법은 함수의 증감과 그래프 글에 있다.

예제

다음 그래프를 보고 함수의 성질을 구하시오.

• 이 함수의 정의역은 구간 [−4, 4]이다.
• 치역은 구간 [−2, 4]이다.
• 함수가 증가하는 것처럼 보이지만, [0, 2] 부분에서 함숫값이 일정하므로 증가함수일 수 없다. 하지만 어느 구간에서도 감소하지 않으므로 감소하지 않는 함수이다.
• 그래프는 y축에 대하여도, 원점에 대하여도 대칭이 아니므로 함수는 우함수도 기함수도 아니다.
• 일대일함수일까? 앞에서 말했듯이 [0, 2] 부분에서 함숫값이 일정하므로 일대일함수일 수 없다. 서로 다른 x에 같은 y가 대응한다.
• 함수는 위로도 아래로도 유계이다. 그래프 전체보다 위에 있는 가로선과 아래에 있는 가로선을 찾을 수 있다.
• 이 함수에는 최솟값과 최댓값이 있다. 점 m = −4에서 최솟값을, 점 M = 4에서 최댓값을 갖는다.