제곱근과 거듭제곱근

거듭제곱근은 거듭제곱의 부분적인 역함수이다. 가장 자주 쓰는 것은 제곱근으로, 자기 자신을 곱하면 처음 수가 되는 수를 찾는다.

제곱근

제곱근에는 기호 $\sqrt{}$를 쓴다. $\sqrt{}$(25)처럼 괄호를 쓰지 않도록, 근호 안에 들어가는 식 전체 위에 가로선을 긋는다. $\sqrt{25}$처럼 쓴다.

먼저 실수의 제곱근만 다룬다. 다음과 같이 정의한다.

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

$\sqrt{a}$에 다시 $\sqrt{a}$를 곱하면 a가 된다. 따라서 $\sqrt{9}=3$이다. 3 · 3 = 9이기 때문이다.

앞의 식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

이것은 앞의 곱셈을 거듭제곱으로 다르게 쓴 것일 뿐이다.

중요한 점은 이 등식이 제곱근의 정의역에 속하는 a에 대해서만 성립한다는 것이다. 음수의 제곱근은 구할 수 없기 때문이다. 양수의 제곱근도, 0의 제곱근도 구할 수 있는데, 왜 음수의 제곱근은 구할 수 없을까?

−25의 제곱근을 구한다고 하자. 고를 수 있는 수는 크게 두 가지, 양수 아니면 음수이다. 양수를 고르면 5 · 5 = 25이다. 25가 나왔지만 원하는 것은 −25이다. 그래서 −5를 골라 보지만 곱하면 역시 25이다. 음수 두 개를 곱해도 양수가 되고, 양수 두 개를 곱해도 양수가 된다. −25를 얻으려면 −5 · 5를 곱해야 하는데, 부호만 다를 뿐 서로 다른 두 수를 곱하는 것이므로 안 된다. 그래서 음수의 제곱근은 실수 범위에서 구할 수 없다.

n제곱근

식을 제곱, 세제곱, 네제곱할 수 있는 것처럼 실수의 세제곱근, 네제곱근, 그리고 n제곱근도 있다. 보통 근호의 왼쪽 위에 다음과 같이 쓴다.

$$\sqrt[5]{32}$$

이것은 32의 다섯제곱근을 뜻한다. n제곱근은 n제곱을 이용해 다음과 같이 정의한다.

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in \mathbb{N},a,b\ge 0$$

n에 2를 넣으면 조금 전에 정의한 제곱근이 된다. 짧게는 다음과 같이 정의할 수도 있다.

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

제곱근에는 2를 쓰지 않아도 된다는 약속이 있다. 즉 다음 두 표기는 같다.

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

예를 들어 네제곱근이면 다음이 성립한다.

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

구체적인 예를 하나 보자.

$$\sqrt[3]{64}=4$$

반대로 4 · 4 · 4 = 64이다.

음수의 거듭제곱근

a가 실수이면 a²은 결코 음수가 아니므로 음수의 제곱근은 없다는 것을 알았다. 그런데 거듭제곱근에서는 두 번만 곱하는 것이 아니므로 음수의 n제곱근이 있는 경우도 있다. 어떻게 된 것일까?

문제는 음수를 두 번 곱하면 양수가 된다는 것이었다. −25를 얻으려면 −5 · 5를 곱해야 했다. 그런데 음수 세 개를 곱하면 어떻게 될까? 처음 두 음수를 곱하면 양수가 된다. 하지만 마지막 음수를 곱하면 다시 음수가 된다. 한 번 더 곱하면(모두 네 번) 다시 양수가 된다.

여기서 알 수 있는 것은, 음수를 n번 곱하면 n이 짝수일 때는 곱이 양수이고 홀수일 때는 음수라는 것이다. 따라서 n이 홀수이면 음수의 n제곱근이 있다. 예를 보자.

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

거듭제곱으로 바꾸기

거듭제곱근은 거듭제곱으로 쉽게 바꿀 수 있고, 그러면 다루기 쉬워지므로 자주 바꾼다. 다음 관계가 성립한다.

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

$\sqrt[n]{a}$는 a를 $\frac{1}{n}$제곱한 것과 같다. 이것은 제곱근보다 높은 거듭제곱근을 어딘가에 입력해야 할 때도 유용하다. 그런 기호를 바로 입력할 수 없는 경우가 많지만 지수에는 분수를 넣을 수 있다. 네제곱근의 그래프를 그리게 하고 싶다면 다음 함수의 그래프를 그리게 하면 된다.

$$f(x)=x^{1/4}.$$

가장 자주 쓰는 것은 제곱근을 바꾸는 것이다.

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

거듭제곱근의 공식

거듭제곱근은 거듭제곱으로 쉽게 바꿀 수 있으므로 근호가 있는 식은 거듭제곱의 공식을 그대로 물려받는다. 따라서 다음 관계가 성립한다.

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

또 다음 기본 관계도 성립한다.

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

근호 밖으로 꺼내기

근호 밖으로 꺼내는 것은 앞의 공식 하나를 이용해 거듭제곱근을 간단히 하는 방법이다.

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

근호 안의 식을 곱으로 나누고, 두 개의 근호로 나누어 쓴 다음, 한쪽 근호를 계산할 수 있는 경우가 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.

$$\sqrt{4x}$$

이 식은 앞의 공식에 따라 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

이제 $\sqrt{4}$를 계산한다.

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

정확한 꼴을 유지하고 싶을 때는 보통의 수도 마찬가지로 바꿀 수 있다. 예를 보자.

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

계산기

거듭제곱근을 계산해야 한다면 거듭제곱근 계산기 🧮를 쓸 수 있다.