집합

집합은 원소들의 모임이라고 생각할 수 있다. 모든 집합에는 일정한 개수의 원소가 있고, 그 개수는 유한할 수도 있고 무한할 수도 있다. 원소가 하나도 없을 수도 있는데, 이런 집합을 공집합이라고 한다. 집합은 보통 M처럼 대문자로 나타내고, 집합의 원소는 m처럼 소문자로 나타낸다.

집합이란 무엇인가

집합은 수학의 가장 기본적인 개념 가운데 하나이다. 수많은 다른 개념이 집합을 통해 정의되므로, 나중에 공부하면서 헤매지 않도록 처음부터 집합이 무엇인지 분명히 해 두는 것이 좋다.

집합은 아무 원소들이나 모은 것이다. 수학에서 가장 자주 다루는 것은 수의 집합, 즉 원소가 수인 집합이다. 수학에서 집합은 보통 다음과 같이 쓴다.

$$M=\{1,2,3\}$$

이렇게 하면 원소 세 개, 즉 1, 2, 3을 가진 집합 “M”을 나타낸 것이다. 집합은 언제나 중괄호 안에 쓴다. 중괄호가 보이면 거의 언제나 어떤 집합이다.

집합은 어디에 쓸까? 집합은 어떤 원소들 가운데서 고를 수 있는지를 정해 줄 때가 많다. 예를 들어 일상에서는 “영희야, 게임 하자. 1부터 5까지 수 중에서 하나를 생각해 봐.”라고 말할 수 있다. 이렇게 하면 영희가 고를 수 있는 수의 범위를 정해 준 것이다. 수학에서는 이럴 때 집합을 쓴다.

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

그러고 나서 영희에게 “영희야, 게임 하자. 집합 L에 들어 있는 수 중에서 하나를 생각해 봐.”라고 말할 수 있다. 게임이 훨씬 재미있어지는 게 틀림없다. 수학에서는 원소가 집합에 속한다는 것을 ∈ 기호로 나타내고, 속하지 않는다는 것을 ∉ 기호로 나타낸다. 1은 집합 L에 속하지만 7은 속하지 않는다고 말하고 싶으면 1 ∈ L, 7 ∉ L이라고 쓴다.

물론 집합은 비어 있을 수도 있다. 이때는 P = {}라고 쓰거나 더 간단히 P = ∅이라고 쓴다. 두 표기 모두 “공집합”이라는 뜻이라는 점에 주의하자. P = {∅}라고 쓰면 공집합을 원소로 가진 집합을 쓴 것이다. 이 집합은 공집합과 같지 않다.

순서와 중복

집합의 원소에는 순서가 없다. 집합은 순서 없는 원소들의 모임이다. 두 집합 A = {1, 2, 3}과 B = {3, 2, 1}이 있으면 두 집합은 같다고 한다. 집합에서 원소의 순서는 상관이 없다.

중복된 원소도 신경 쓰지 않는다. 집합에 같은 원소(같은 수)가 여러 번 들어 있으면 그 원소는 언제나 한 번만 센다. 이번에도 두 집합 A = {1, 1, 2, 2, 2}와 B = {2, 1}이 있으면 두 집합은 같다고 본다. 집합 A에 같은 원소가 두 번, 세 번 들어 있어서 원소가 “더 많아” 보여도 상관없다. 집합을 다룰 때는 이렇게 중복된 원소를 그냥 걸러 낸다.

집합의 크기와 서로 같은 집합

집합의 크기라는 개념을 정의할 수 있다. 집합의 크기는 집합에 들어 있는 원소의 개수이다. 앞의 예 A = {1, 1, 2, 2, 2}와 B = {2, 1}에서 집합 A의 크기는 2이고, 집합 B의 크기도 2이다. 원소의 개수를 셀 때도 중복된 원소는 신경 쓰지 않기 때문이다. 이 글에서는 집합의 크기를 세로선 사이에 넣어 |A| = |B| = 2와 같이 나타낸다(한국의 교과서에서는 원소의 개수를 보통 n(A)로 쓴다).

이미 짐작했겠지만, 두 집합의 원소가 모두 같으면 두 집합은 서로 같다. 몇 가지 예를 보자.

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

중요한 성질은 집합이 다른 집합을 원소로 가질 수 있다는 것이다. 예를 들어 C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}에서 집합 C의 원소는 여섯 개가 아니라 세 개라는 것을 알아 두어야 한다. 집합 C의 원소는 1, 2, 그리고 집합 하나이다. 원소 3, 4, 5와 6은 안쪽 집합의 원소이지, 집합 C의 원소가 아니다. 따라서 |C| = 3이다. 더 복잡한 예를 보자.

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

집합 D의 원소는 몇 개일까? 원소는 세 개이고, 다음과 같다.

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

집합은 유한할 수도 있고 무한할 수도 있다. 지금까지 본 집합은 모두 유한집합이다. 예를 들어 모든 수의 집합은 무한집합이다.

부분집합

두 집합 A = {1, 2}와 B = {1, 2, 3}을 보자. 두 집합은 원소가 같지 않으므로 서로 다르고, 집합 B가 더 크다. 하지만 집합 B에는 집합 A의 원소가 모두 들어 있고, 원소 3이 하나 더 있을 뿐이라는 것을 눈치챘을 것이다. 이럴 때 A는 B의 부분집합이라고 한다.

A가 B의 부분집합이면, 집합 A에 들어 있는 원소는 모두 집합 B에도 들어 있어야 한다. 부분집합은 관계이고, ⊆ 기호로 나타낸다. 형식적인 정의는 다음과 같다.

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

보통은 집합 A와 B가 같아도 A ⊆ B가 성립한다고 본다. 같은 경우를 빼고 싶으면 다른 기호, 즉 ⊂ 기호를 쓴다. 이때 A ⊂ B이면 집합 B는 (유한집합이라면) 더 커야 하고, 집합 A에 없는 원소를 가지고 있어야 한다. 이런 집합을 “진부분집합”이라고 한다. 즉 A ⊂ B이면 A는 B의 진부분집합이다. 진부분집합의 정의는 다음과 같다.

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

일반적인 부분집합의 정의와 같고, 다만 두 집합이 같으면 안 된다. 주의할 점이 있다. 한국의 교과서에서는 ⊆ 대신 ⊂ 기호를 쓰고, 이 기호는 두 집합이 같은 경우도 포함한다. 이 글에서는 두 기호를 구별해서 ⊂를 진부분집합에만 쓴다. 몇 가지 예를 보자.

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

부분집합의 성질은 다음과 같다.

• A ⊆ A: 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다.
• A ⊄ A: 어떤 집합도 자기 자신의 진부분집합은 아니다.
• ∅ ⊆ A: 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.
• A ⊄ ∅: 공집합은 진부분집합을 가지지 않는다.

부분집합을 이용하면 두 집합이 같다는 것을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

두 집합이 같으면 각각이 서로의 부분집합이다.

부분집합 관계를 “포함 관계”라고도 한다.

멱집합

멱집합은 주어진 집합의 모든 부분집합을 모은 집합이다. 보통 P(M) 또는 2^M으로 나타낸다.

예를 들어 M = {1, 2, 3}이라고 하자. 부분집합을 모두 찾으면 무엇일까? 공집합과 집합 M 자신은 당연히 부분집합이다. 그 밖에 {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}이 있다. 이 집합들이 모두 모여 집합 M의 멱집합을 이룬다. 식으로 쓰면 P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}이다.

공집합은 모든 집합의 부분집합이고 M은 언제나 M의 부분집합이므로, 언제나 ∅ ∈ P(M)이고 M ∈ P(M)이다.

집합을 나타내는 방법

한 가지 방법은 이미 보았다. 원소를 그냥 나열하는 방법이다. 이때 중괄호를 쓴다. 예를 들어 M = {1, 2, 3}이나 N = {a, b, c, d}처럼 쓴다. 무한집합을 쓸 때는 원소가 어떻게 이어지는지 분명하면 점 세 개를 쓸 수 있다. M = {1, 2, 3, …}

집합을 나타내는 주된 방법은 원소가 가지는 조건을 제시하는 것(조건제시법)이다. 일반적인 꼴은 {x ∈ X | P(x)}이다. 여기서 X는 원소를 골라 오는 집합이고, P(x)는 집합의 원소를 정하는 조건식이다. 조건식은 순수하게 수식으로 쓸 수도 있고 말로 쓸 수도 있다. “|” 대신 쌍반점 “;”을 쓰기도 한다.

예를 들어 “집합 M은 한 달 중 어느 날짜를 나타내는 수를 모두 원소로 가진다”라고 하자. 한 달은 많아야 31일이므로 이 집합의 원소는 1부터 31까지 31개이다. 점 세 개를 써서 M = {1, 2, 3, …, 30, 31}처럼 쓸 수 있다. 같은 집합을 {x ∈ ℤ | x는 한 달 중 어느 날짜이다}로 쓸 수도 있다. 여기서 ℤ는 정수의 집합이다.

좀 더 수학적인 예로 “집합 P는 5로 나누어떨어지는 양수를 모두 원소로 가진다”를 들 수 있다. 그러면 이 집합은 P = {5, 10, 15, 20, 25,…}이다.

10보다 작은 자연수의 집합 T를 수학적으로 써 보자. T = {x ∈ ℕ | x<10}이다. 이 표기는 다음을 뜻한다. 집합 T는 자연수의 집합에서 골라 온 원소 x로 이루어지며, 이 원소들은 10보다 작다는 조건을 만족한다. 그래서 자연수를 살펴보고 10보다 작은 수만 골라내면 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}이다. 이것으로 끝이다.

또 다른 예로 Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}을 보자. 정수에서 골라 온 원소 x로 이루어진 집합 Y를 정의했다. x가 만족해야 하는 조건은 0이 아니라는 것 하나뿐이다. 그래서 집합 Y는 0을 뺀 모든 정수를 원소로 가진다.

또 다른 예로 G = {x ∈ ℝ | x · x = x}를 보자. 집합 G는 실수에서 골라 온 원소 x로 이루어지며, 모든 원소 x는 자기 자신을 곱하면 다시 x가 되어야 한다. 예를 들어 5를 넣어 보자. 정의에 따르면 등식 5 · 5 = 5가 성립해야 한다. 이는 분명히 성립하지 않으므로 5는 집합 G의 원소가 아니다. 1을 넣어 보자. 1 · 1 = 1이다. 1에 대해서는 분명히 성립하므로 1은 집합 G의 원소이다. 두 번째이자 마지막 원소는 0이다. 다른 수에 대해서는 더 이상 성립하지 않는다. 따라서 G = {0, 1}이라고 쓸 수 있다.

마지막 예이다. 원소의 조건이 복잡할 수도 있다는 것을 보여 주려고 좀 더 복잡한 것을 써 보겠다.

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

실제로 집합은 원소의 조건으로 정의하는 경우가 가장 많다. 그리고 수학의 꽤 많은 개념이 집합을 이용해 정의된다고 말할 수 있다. 예를 들어 구간을 보자. 구간 (a, b)는 다음을 만족하는 집합 I라고 말할 수 있다.

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

실수의 집합에서 a보다 크고 b보다 작은 원소를 모두 모은 것이며, 이것이 바로 구간이 나타내는 것이다.

더 읽을거리

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