연립방정식
실제로는 방정식 하나가 아니라 두 개(또는 그보다 많은) 방정식을 동시에 풀어야 하는 경우가 많다. 먼저 이런 연립방정식을 대입법으로 푸는 방법을 알아보자. 행렬을 이용해 연립방정식을 푸는 방법은 연립일차방정식 글에 있다.
기본
연립방정식은 함께 푸는 여러 개의 방정식이다. 연립방정식에는 보통 변수도 여러 개 있으며, 모든 변수에 대입했을 때 모든 방정식이 성립하는 수의 조합을 찾는다.
연립방정식의 예는 다음과 같다.
이 연립방정식의 해는 변수 a와 b에 대입했을 때 두 방정식이 모두 성립하는 수의 쌍(또는 쌍들의 집합)이어야 한다. 눈으로 보아도 방정식 a + b = 0이 성립하려면 변수 a가 −b와 같아야 한다는 것을 알 수 있다. 이것을 알면 두 번째 방정식에서 a = 10, b = −10이라는 것을 쉽게 알 수 있다. 대입하면 다음과 같다.
눈대중으로 푸는 것은 이 정도로 하고, 이제 연립방정식을 푸는 확실한 방법을 알아보자.
대입법
대입법에서는 한 방정식을 미지수 하나에 대해 정리하고, 그 결과를 다른 방정식에 대입한다. 먼저 연립방정식이 하나 필요하다. 다음 연립방정식을 보자.
이것은 미지수가 두 개인 간단한 연립방정식이다. 두 방정식이 모두 성립하도록 변수 x와 y를 구해야 한다. 첫 번째 방정식에서 y를 구하자. 즉 첫 번째 방정식만 가져와 y에 대해 정리한다.
먼저 4x를 뺀다.
2로 나눈다.
이제 y가 무엇과 같은지 안다. 이 결과를 두 번째 방정식의 변수 y에 대입할 수 있다. 즉 두 번째 방정식에서 y 대신 3 − 2x를 쓴다. 그러면 무엇을 얻을까? 변수 y 자리에 변수 x만 있는 식을 넣으므로 두 번째 방정식에는 변수가 두 개가 아니라 하나만 남는다. 대입하자.
이제 괄호를 전개하고 더할 수 있는 것을 더하기만 하면 된다.
이제 x의 값이 2라는 것을 알았다. y의 값을 구하는 일이 남았다. 이미 아는 x의 값을 x와 y가 모두 있는 방정식에 대입하면 된다. 예를 들어 맨 처음 방정식을 고를 수 있다. 다음과 같이 대입한다.
이렇게 연립방정식을 풀었다. 연립방정식의 해는 하나뿐이며 x = 2, y = −1이다. 이 결과를 확인하고 싶다면 두 방정식에 대입해 보면 된다. 첫 번째 방정식에 대입하면 다음과 같다.
두 번째 방정식에 대입하면 다음과 같다.
가감법
개인적으로는 이 방법을 더 좋아하지만, 물론 문제에 따라 다르다. 언제나 알맞은 것은 아니다. 가감법의 원리는 연립방정식을 풀 때 방정식끼리 더하는 것이 동치 변형이라는 것이다. 방정식끼리 더할 때는 한 방정식의 좌변과 다른 방정식의 좌변을 더하고, 우변끼리도 더한다. 다음과 같은 일반적인 연립방정식이 있다고 하자.
이 방정식들을 더하면 다음과 같이 정의되는 방정식 하나를 얻는다.
좌변끼리, 우변끼리 따로 더했다. 그런데 목표는 무엇일까? 두 방정식을 더해도 변수가 두 개 남으면 별 도움이 안 된다. 그래서 두 방정식을 더했을 때 변수 하나가 사라지도록, 즉 서로 지워지도록 한다. 함수 f끼리 또는 g끼리의 합이 0이 되게 하는 것이다.
어떻게 할까? 연립방정식은 보통의 방정식으로 이루어져 있으므로 보통의 방정식에서처럼 등식의 성질을 적용할 수 있다. 그래서 어떤 방정식에 어떤 수를 곱해도 방정식의 해는 바뀌지 않는다. 앞의 연립방정식을 가감법으로 풀어 보자. 문제는 같다.
방정식을 바로 더하면 두 변수가 모두 남는다.
그래서 먼저 변형을 해야 한다. 변수 y가 “사라지게” 해 보자. 그러려면 두 방정식에서 y 앞의 계수가 부호만 반대이고 크기는 같아야 한다. 최소공배수를 찾으면 6이다. 간단한 방법은 계수를 곱하는 것이다. 2 곱하기 3은 6이므로 6은 분명히 두 수로 나누어떨어진다(참고: 이 방법이 최소공배수를 주는 것은 아니지만, 두 계수로 모두 나누어떨어지는 수를 준다).
이제 각 방정식에서 y 앞에 6이 오도록 만든다. 첫 번째 방정식에는 3을, 두 번째 방정식에는 2를 곱한다.
다음을 얻는다.
이제 두 방정식을 더한다.
미지수가 하나인 방정식이 되었으므로 쉽게 풀 수 있다.
앞의 대입법과 같은 결과가 나왔다. 이제 x를 어느 한 방정식에 대입하면 y = −1을 얻는다. 검산도 똑같이 하면 된다.
해의 개수
연립방정식의 해가 꼭 하나인 것은 아니다. 해가 무수히 많을 수도 있고, 반대로 해가 없을 수도 있다. 언제 그런지 간단히 보자. 미지수가 두 개인 방정식 두 개가 있고, 한 방정식에 등식의 성질을 적용해 다른 방정식을 만들 수 있으면 연립방정식의 해는 무수히 많다. 예를 들어 다음 연립방정식을 보자.
첫 번째 방정식에 2를 곱하면 그대로 두 번째 방정식이 된다. 그래서 두 번째 방정식은 연립방정식에 대해 “새로운 정보”를 주지 않으므로 사실상 필요 없다. 결국 다음 방정식의 모든 해가 연립방정식 전체의 해가 된다.
예를 들어 순서쌍 (1, 1)이나 (−3, 5)는 첫 번째 방정식의 해이면서 연립방정식 전체의 해이다.
반대로 동시에 성립할 수 없는 모순된 방정식이 있으면 연립방정식은 해가 하나도 없다. 예를 보자.
합 x + y가 2이면서 동시에 4일 수는 없으므로 이 연립방정식은 해가 없다. 예제를 몇 개 더 보자.
첫 번째 예제
미지수가 두 개인 다음 연립방정식을 푸시오.
연립방정식을 언뜻 보아도 가감법이 알맞다는 것을 알 수 있다. 두 번째 방정식의 x의 계수는 첫 번째 방정식의 두 배이고, y의 계수는 세 배이다. 그러니 첫 번째 방정식에 −2나 −3을 곱하고 두 방정식을 더하면 된다. 예를 들어 변수 x를 없애기 위해 첫 번째 방정식에 −2를 곱한다. 다음을 얻는다.
두 방정식을 더하면 다음을 얻는다.
미지수 하나의 값을 얻었다. 이 값을 어느 한 방정식에 대입한다. 이번에도 맨 처음 방정식에 대입할 수 있다.
연립방정식의 해는 x = 9, y = −14이다.
두 번째 예제
미지수가 두 개인 다음 연립방정식을 푸시오.
조금 거칠어 보이지만 풀 수 있다. 무엇보다 먼저 괄호를 전개해야 한다. 그러지 않으면 별로 나아가지 못한다.
이제 방정식을 쓰기 좋은 꼴로 바꾼다. 변수는 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하고 뺄 수 있는 것은 뺀다.
보기 싫은 방정식에서 꽤 쓸 만한 연립방정식을 얻었으므로 보통의 방법을 적용할 수 있다. 예를 들어 두 번째 방정식에 2를 곱하고 첫 번째 방정식과 더할 수 있다. 두 번째 방정식에 2를 곱하면 다음을 얻는다.
이제 보통의 가감법으로 두 방정식을 더한다.
좋다, 미지수 하나의 값을 얻었다. 이 값을 어느 한 방정식에 대입해서 y를 구한다. 예를 들어 방정식 2x− 3y = −13에 대입하면 다음을 얻는다.
이제 연립방정식의 해를 모두 구했다. 해는 x = 4, y = 7이다.