균등분포와 정규분포

실제로도 흔히 만나는 대표적인 분포가 두 가지 있다. 균등분포와 정규분포이다.

균등분포

균등분포는 자료에서 모든 값이 똑같은 횟수만큼 나오는 분포이다. 예를 들어 2000년, 2001년, …, 2009년이 각각 몇 개월이었는지 세어 볼 수 있다.

이상적인 보통의 주사위를 던지면 1이 나올 확률이 $\frac{1}{6}$, 2가 나올 확률이 $\frac{1}{6}$이고, 나머지도 마찬가지이다. 모든 결과의 확률이 같으므로 균등한 확률분포라고 한다.

6이 나올 확률이 $\frac{1}{3}$인 조작된 주사위라면 균등하지 않은 분포가 된다. 나머지 면도 모두 확률이 $\frac{1}{3}$일 수는 없다. 마찬가지로 각 달의 날수를 셀 수도 있다. 모든 달의 날수가 같지는 않으므로 균등분포가 아니다.

정규분포

정규분포는 가우스 분포라고도 한다. 연속확률변수에서만 쓴다. 표준정규분포는 다음과 같은 모양이다.

이 곡선은 이른바 가우스 함수로 나타내며, 그 꼴은 다음과 같다.

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

함수가 꽤 복잡하지만 외울 필요는 없다. 다만 정규분포는 평균 μ(교과서에서는 m)와 표준편차 σ 또는 분산으로 정해진다는 것을 알 수 있다. 평균과 표준편차의 값에 따라 여러 가지 그래프를 얻는다.

정규분포가 중요한 이유는 실제로 만나는 여러 분포를 꽤 그대로 나타내기 때문이다. 곡선은 언제나 최댓값을 하나만 가지며, 그 위치는 평균이다. 예를 들어 빨간 곡선은 X = 0에서 최댓값을 가지므로 이 변수의 평균은 0이다. 곡선은 대칭이다. X축에 수직이고 평균, 즉 점 X = 0을 지나는 직선에 대해 선대칭이다. 다시 말해 곡선은 0의 왼쪽과 오른쪽이 똑같다. 초록 곡선도 성질이 같고, 다만 0이 아니라 점 X = −2가 기준이다.

정규분포는 사람들의 지능, 즉 IQ의 분포를 꽤 잘 나타낼 수 있다. IQ의 평균은 정의에 따라 100이다. 그리고 IQ가 100보다 높은 사람과 낮은 사람의 수가 거의 같다. 평균보다 조금 낮은 사람과 조금 높은 사람의 수가 거의 같고, 바보와 천재의 수도 같다. 가끔은 그렇게 보이지 않지만 :-). IQ의 대략적인 분포를 나타낸 그래프는 다음과 같다.

정규분포에서는 표준편차가 큰 역할을 한다. 표준편차가 σ인 정규분포라면 값의 약 68%가 구간 [μ − σ, μ + σ]에 있다. 즉 값의 약 68%는 평균과의 차이가 표준편차 이하이다. 값의 약 95%는 구간 [μ − 2σ, μ + 2σ]에, 99.7%는 구간 [μ − 3σ, μ + 3σ]에 있다. 다음 그림이 이를 한눈에 보여 준다.

출처

• 일부 그림은 위키백과의 정규 분포와 Intelligence 문서에서 가져왔다.