Sifat fungsi

Fungsi ialah petua yang memetakan setiap nombor x daripada domain M kepada tepat satu nilai y dalam julat N. Fungsi biasanya ditulis dalam bentuk y = f(x), atau secara eksplisit sebagai f:y = x, dengan pemboleh ubah x ialah objek (hujah) fungsi.

Domain dan julat

Bagi setiap fungsi, kita juga perlu menentukan domainnya, iaitu set semua nilai yang dibenarkan bagi objek x. Dengan kata lain, domain ialah semua nilai yang boleh diambil oleh pemboleh ubah x. Domain bagi fungsi f ditandakan dengan D_f.

Contoh mudah: bagi f:y = x, domainnya ialah set semua nombor nyata, D_f = ℝ. Contoh lain: bagi $f:y=\frac{1}{x}$, domainnya ialah set nombor nyata kecuali sifar. Kita tidak boleh membahagi dengan sifar, kerana ungkapan itu tidak akan bermakna: D_f = ℝ ∖ {0}.

Julat pula, secara analogi, ialah set semua nilai y yang mungkin, iaitu set semua unsur yang boleh dipetakan oleh fungsi f. Sekali lagi contoh mudah: katakan kita mempunyai fungsi f:y = x. Julatnya ialah set ℝ, kerana y boleh mengambil sebarang nilai dalam set ini. Sekarang ambil pula fungsi f:y = |x| (nilai mutlak). Julatnya ialah selang [0, +∞), kerana y tidak mungkin sama dengan, misalnya, negatif lima. Hal ini mustahil menurut takrif nilai mutlak.

Jika kita menggunakan konsep pemetaan daripada set A kepada set B, set A ialah domain dan set B ialah kodomain, iaitu set yang menjadi sasaran pemetaan. Julat ialah subset bagi kodomain.

Fungsi menokok dan menyusut

Sifat ini menentukan sama ada fungsi pada suatu selang menokok, menyusut, tak menokok, tak menyusut, pemalar atau bukan salah satu daripadanya.

Sifat ini paling mudah dibaca daripada graf. Jika graf kelihatan menurun, fungsi itu menyusut. Jika graf kelihatan menaik, fungsi itu menokok. Mudah sahaja :-). Takrifnya seperti berikut: katakan kita mempunyai fungsi f dan x₁, x₂ ∈ D_f. Kita mengatakan bahawa

• fungsi f menokok jika x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) < f(x₂).
• fungsi f menyusut jika x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) > f(x₂). (Takrifnya kelihatan sama, tetapi dalam kes pertama nilai fungsi dibandingkan dengan < dan dalam kes kedua dengan >.)

Perhatikan graf fungsi menokok f(x) = ln(x):

Kita lihat bahawa jika kita memilih x₁, x₂ dengan x₁ < x₂, maka f(x₁) < f(x₂) juga. Sekarang perhatikan graf seterusnya, iaitu graf fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$, yang menyusut, misalnya pada selang (0, ∞):

Di sini kita lihat bahawa jika x₁ < x₂, maka nilai fungsinya sebaliknya memenuhi f(x₁) > f(x₂). Walaupun x₁ lebih kecil daripada x₂, nilai itu “menghasilkan” nilai fungsi yang lebih besar.

Berikut ialah takrif yang selebihnya:

• Fungsi f tak menyusut jika x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) ≤ f(x₂). (Takrifnya serupa dengan fungsi menokok, tetapi kita membenarkan fungsi bernilai tetap pada sebahagian selang.)
• Fungsi f tak menokok jika x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) ≥ f(x₂).
• Fungsi f ialah fungsi pemalar jika julatnya ialah set dengan satu unsur sahaja, iaitu jika bagi sebarang x₁, x₂, f(x₁) = f(x₂).

Contoh fungsi tak menokok ialah f(x) = |x|−x:

Perhatikan bahawa fungsi ini menyusut pada selang (−∞, 0), tetapi pada selang yang selebihnya nilai fungsi ialah pemalar (sifar). Jadi, pada keseluruhan domainnya, fungsi ini tak menokok.

Fungsi genap dan fungsi ganjil

Sesetengah fungsi, dengan syarat tertentu, boleh menjadi fungsi genap atau ganjil. Cara paling cepat untuk mengenalinya ialah melalui graf fungsi. Graf fungsi genap simetri pada paksi-y, manakala graf fungsi ganjil simetri pada asalan (0, 0). Contoh fungsi genap ialah y = x² dan contoh fungsi ganjil ialah y = 2x. Takrifnya seperti berikut. Fungsi f ialah

• fungsi genap jika f(x) = f(−x) bagi semua x ∈ D_f,
• fungsi ganjil jika −f(x) = f(−x) bagi semua x ∈ D_f.

Fungsi genap dan ganjil dibincangkan dalam artikel tersendiri, Fungsi genap dan fungsi ganjil.

Fungsi satu kepada satu

Fungsi satu kepada satu dapat dikenali kerana semua nilai fungsinya unik, iaitu tiada nilai fungsi yang berulang. Takrifnya:

Fungsi f ialah fungsi satu kepada satu jika bagi semua x₁, x₂ ∈ D_f

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Jika kita memilih dua nilai x yang berbeza daripada domain fungsi, nilai fungsinya mesti sentiasa berbeza.

Secara grafik, sifat ini sentiasa mudah dikenali. Jika anda melukis garis lurus yang selari dengan paksi-x, garis itu mesti menyilang graf pada paling banyak satu titik. Contoh fungsi satu kepada satu ialah fungsi linear y = 3x. Garis mengufuk mana-mana pun yang anda pilih akan menyilang graf di tepat satu titik. Sebaliknya, graf fungsi sinus berbentuk gelombang. Jika anda melukis garis yang selari dengan paksi-x dan menyilang paksi-y pada titik $\frac{1}{2}$, anda akan memperoleh titik persilangan dengan graf yang tak terhingga banyaknya. Oleh itu, fungsi sinus bukan fungsi satu kepada satu.

Fungsi terbatas

Fungsi boleh terbatas di atas, terbatas di bawah, atau terbatas di atas dan di bawah. Fungsi jenis terakhir ini dipanggil fungsi terbatas sahaja. Fungsi f terbatas di atas jika kita dapat mencari suatu nombor nyata A yang lebih besar daripada semua nilai fungsi f. Begitu juga bagi fungsi yang terbatas di bawah. Jadi, takrifnya:

• Fungsi f terbatas di atas jika wujud A ∈ ℝ sehingga A > f(x) bagi semua x ∈ D_f.
• Fungsi f terbatas di bawah jika wujud A ∈ ℝ sehingga A < f(x) bagi semua x ∈ D_f.

Secara grafik, kita mencari garis lurus yang selari dengan paksi-x (iaitu garis mengufuk) yang terletak di atas atau di bawah keseluruhan graf fungsi.

Rajah ini menunjukkan graf fungsi f(x) = x⁴ yang terbatas di bawah. Perhatikan bahawa kita tidak perlu mencari nilai A yang “paling hampir” dengan graf. Garis itu boleh diletakkan di mana-mana sahaja di bawah graf.

Nilai minimum dan maksimum

Fungsi f mencapai nilai maksimum pada titik M dalam domainnya jika nilai fungsi pada titik M ialah nilai yang paling besar antara semua nilai fungsi. Begitu juga bagi minimum. Takrifnya:

• Fungsi f mencapai maksimum global pada titik M ∈ D_f jika f(x) ≤ f(M) bagi semua x ∈ D_f. Ringkasnya, nilai fungsi paling besar pada titik M. Jika maksimum itu dicapai pada satu titik sahaja, kita memanggilnya maksimum tegas.
• Fungsi f mencapai minimum global pada titik m ∈ D_f jika f(x) ≥ f(m) bagi semua x ∈ D_f, iaitu nilai fungsi paling kecil pada titik m.

Pada graf, anda boleh mencari maksimum dan minimum fungsi dengan agak mudah: lihat sahaja di mana graf paling rendah atau paling tinggi. Sudah tentu fungsi tidak semestinya mempunyai minimum atau maksimum. Fungsi juga boleh mempunyai minimum sahaja atau maksimum sahaja. Selain itu, fungsi boleh mempunyai ekstremum setempat sahaja, tanpa sebarang ekstremum pada keseluruhan domainnya.

Jika anda perlu mencari minimum dan maksimum, gunakan terbitan. Langkah-langkahnya diterangkan dalam artikel lakaran graf fungsi.

Contoh

Tentukan sifat fungsi berdasarkan graf berikut:

• Domain fungsi ini ialah selang [−4, 4].
• Julatnya ialah selang [−2, 4].
• Fungsi ini kelihatan seperti fungsi menokok, tetapi pada selang [0, 2] nilainya pemalar, jadi fungsi ini tidak boleh menokok. Namun, fungsi ini tidak menyusut pada mana-mana selang, jadi fungsi ini tak menyusut.
• Graf fungsi ini tidak simetri pada paksi-y dan tidak juga pada asalan sistem koordinat, jadi fungsi ini bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil.
• Adakah fungsi ini fungsi satu kepada satu? Seperti yang telah dinyatakan, pada selang [0, 2] nilai fungsi ialah pemalar, jadi fungsi ini bukan fungsi satu kepada satu. Bagi nilai x yang berbeza, nilai y-nya sama.
• Fungsi ini terbatas di atas dan di bawah. Kita dapat mencari garis mengufuk yang terletak di atas keseluruhan graf dan garis mengufuk yang terletak di bawah keseluruhan graf.
• Fungsi ini juga mempunyai minimum dan maksimum. Minimum dicapai pada titik m = −4 dan maksimum pada titik M = 4.