Punca kuasa

Punca kuasa ialah fungsi songsang separa bagi kuasa. Yang paling kerap digunakan ialah punca kuasa dua. Punca kuasa dua mencari nombor yang, apabila didarab dengan dirinya sendiri, menghasilkan nombor asal.

Punca kuasa dua

Punca kuasa ditulis dengan tanda $\sqrt{}$. Supaya kita tidak perlu menulis hujah punca kuasa dalam tanda kurung seperti $\sqrt{}$(25), satu garis mengufuk dilukis di atas keseluruhan hujah (ungkapan yang hendak dicari punca kuasanya), seperti ini: $\sqrt{25}$.

Sebagai permulaan, kita hanya membincangkan punca kuasa dua bagi nombor nyata. Kita mentakrifkannya seperti berikut:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Jika anda mendarab punca kuasa dua nombor a dengan punca kuasa dua nombor a, anda memperoleh nombor a. Jadi, punca kuasa dua bagi nombor 9 ialah 3, kerana 3 · 3 = 9.

Ungkapan tadi juga boleh ditulis seperti berikut:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Ini hanyalah cara lain untuk menulis pendaraban tadi, iaitu menggunakan kuasa.

Perkara yang penting ialah persamaan ini hanya benar bagi nilai a dalam domain punca kuasa dua. Kita tidak boleh mencari punca kuasa dua bagi nombor negatif. Kita boleh mencari punca kuasa dua bagi sebarang nombor positif dan bagi sifar, tetapi tidak bagi nombor negatif. Mengapa?

Katakan kita mahu mengira punca kuasa dua bagi −25. Pada dasarnya terdapat dua pilihan nombor: positif atau negatif. Jika kita memilih nombor positif, kita memperoleh 5 · 5 = 25. Kita memperoleh 25, tetapi kita mahukan −25. Jadi, kita cuba memilih −5, tetapi selepas didarab kita memperoleh 25 sekali lagi. Ringkasnya, jika anda mendarab dua nombor negatif, anda memperoleh nombor positif. Hal yang sama berlaku apabila anda mendarab dua nombor positif. Anda perlu mendarab −5 · 5 untuk memperoleh −25, tetapi hal ini tidak dibenarkan, kerana anda mendarab dua nombor yang berbeza, walaupun perbezaannya hanya pada tanda. Oleh itu, punca kuasa dua bagi nombor negatif tidak dapat dikira.

Punca kuasa ke-n

Sama seperti kita boleh menaikkan ungkapan kepada kuasa dua, kuasa tiga atau kuasa empat, kita juga boleh mempunyai punca kuasa tiga, punca kuasa empat dan akhirnya punca kuasa ke-n bagi nombor nyata. Indeksnya biasanya ditulis di atas “paruh” tanda punca kuasa, seperti ini:

$$\sqrt[5]{32}$$

Tatatanda ini bermaksud punca kuasa lima bagi nombor tiga puluh dua. Kita mentakrifkan punca kuasa ke-n menggunakan kuasa ke-n seperti berikut:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in \mathbb{N},a,b\ge 0$$

Jika kita menggantikan n dengan dua, kita memperoleh punca kuasa dua seperti yang kita takrifkan tadi. Secara ringkas, kita juga boleh mentakrifkannya seperti berikut:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Mengikut kelaziman, angka dua tidak perlu ditulis bagi punca kuasa dua. Jadi, kedua-dua tatatanda ini setara:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Misalnya, bagi punca kuasa empat:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Dan satu contoh konkrit:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Sebaliknya, 4 · 4 · 4 = 64.

Punca kuasa nombor negatif

Kita sudah tahu bahawa punca kuasa dua bagi nombor negatif tidak wujud, kerana a², dengan a nombor nyata, tidak pernah negatif. Namun, bagi punca kuasa yang lebih tinggi, kita tidak lagi mendarab dua kali sahaja. Jadi, mungkin terdapat kes apabila punca kuasa ke-n bagi nombor negatif wujud. Bagaimanakah sebenarnya?

Masalah kita tadi ialah apabila kita mendarab nombor negatif dua kali, kita memperoleh nombor positif. Untuk memperoleh −25, kita memerlukan hasil darab −5 · 5. Tetapi apakah yang berlaku jika kita mendarab tiga nombor negatif? Selepas mendarab dua nombor negatif yang pertama, kita memperoleh nombor positif. Tetapi selepas mendarab dengan nombor negatif yang terakhir, kita memperoleh nombor negatif semula. Jika kita mendarab sekali lagi (empat kali semuanya), kita kembali kepada nombor positif.

Kesimpulannya: jika kita mendarab nombor negatif sebanyak n kali, hasil darabnya positif apabila n genap dan negatif apabila ganjil. Oleh itu, punca kuasa ke-n bagi nombor negatif wujud apabila n ganjil. Contoh:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Penukaran kepada bentuk indeks

Punca kuasa mudah ditukar kepada bentuk kuasa. Hal ini sering dilakukan kerana bentuk kuasa lebih mudah digunakan. Hubungan berikut berlaku:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Punca kuasa ke-n bagi a sama dengan a kuasa 1/n. Hal ini juga berguna apabila anda perlu memasukkan punca kuasa yang lebih tinggi daripada punca kuasa dua ke dalam suatu alat. Selalunya hal ini tidak boleh dilakukan secara langsung, tetapi pecahan boleh dimasukkan sebagai indeks. Jika anda mahu melukis graf punca kuasa empat, lukis graf fungsi

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Penukaran yang paling kerap digunakan ialah penukaran punca kuasa dua:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Rumus punca kuasa

Oleh sebab punca kuasa mudah ditukar kepada kuasa, ungkapan dengan punca kuasa mewarisi rumus bagi kuasa umum. Jadi, hubungan berikut berlaku:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Selain itu, hubungan asas berikut juga berlaku:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Memudahkan surd

Memudahkan surd ialah teknik untuk mempermudah punca kuasa. Teknik ini menggunakan salah satu rumus tadi:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Sesetengah ungkapan di bawah tanda punca kuasa boleh difaktorkan, kemudian ditulis sebagai dua punca kuasa, dan akhirnya salah satu punca kuasa itu dapat dikira. Contoh tipikal ialah:

$$\sqrt{4x}$$

Menurut rumus tadi, ungkapan ini boleh ditulis semula seperti berikut:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Sekarang kita boleh mencari punca kuasa dua bagi empat:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

Dengan cara yang sama, kita boleh menulis semula nombor biasa jika kita mahu mengekalkan bentuk yang tepat. Contohnya:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Kalkulator

Jika anda perlu mengira sebarang punca kuasa, anda boleh menggunakan kalkulator punca kuasa 🧮 di laman ini.