Jujukan

Jujukan ialah fungsi yang domainnya ialah set nombor asli. Jujukan boleh jadi tak terhingga, jika domainnya ialah seluruh set nombor asli, atau terhingga, jika domainnya hanya subset terhingga bagi set nombor asli. Jika tidak dinyatakan secara jelas bahawa jujukan itu terhingga, jujukan itu dianggap tak terhingga.

Takrif jujukan

Bahagian ini menerangkan serba sedikit maksud takrif jujukan. Anda tidak semestinya perlu mengetahuinya, jadi anda boleh melangkau seluruh bahagian ini jika mahu.

Pengenalan tadi sudah menyatakan bahawa jujukan ialah fungsi yang domainnya ialah nombor asli. Julatnya boleh jadi sebarang set, tetapi di sini kita menganggap julatnya ialah set nombor nyata. Apakah maksudnya? Perbezaan yang paling ketara kelihatan pada graf fungsi. Grafnya bukan garis yang selanjar seperti lazimnya bagi fungsi biasa, tetapi hanya titik-titik jujukan yang terasing dan bertaburan.

Contoh jujukan ialah deretan nombor 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Jujukan ini agak jelas, dan setiap orang tentu dapat meneka bagaimana jujukan ini bersambung. Oleh sebab jujukan ialah fungsi, jadual pemetaan jujukan ini kelihatan seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Nombor dalam lajur pertama (nilai daripada domain) menunjukkan kedudukan nombor itu dalam jujukan. Contohnya, dalam jujukan mudah kita, nombor lima berada pada kedudukan ketiga, dan jadual itu menunjukkan perkara yang sama. Pada kedudukan keempat dalam jujukan terdapat nombor tujuh, pada kedudukan pertama nombor satu, dan seterusnya. Ini juga bermakna bahawa domain bagi jujukan terhingga p mestilah set yang berbentuk

$$D_p=\{1,2,3,\dots ,n\},$$

supaya nombor-nombor itu benar-benar menunjukkan kedudukan dan tiada kedudukan yang tertinggal. Contohnya, set berikut

$$D_p=\{1,2,3,5,7\}$$

tidak sesuai menjadi domain bagi jujukan kerana unsur keempat dan keenam tiada di dalamnya.

Jadi, ciri jujukan ialah unsur-unsurnya boleh disusun mengikut tertib, dengan keadaan setiap unsur jujukan, kecuali unsur pertama dan terakhir, mempunyai sebutan sebelumnya dan sebutan berikutnya. Hal ini sangat berbeza daripada fungsi nyata, yang tidak mempunyai sifat seperti ini. Jika kita mengambil fungsi f(x) = 2x, apakah nilai yang datang selepas f(5/2)? Kita tidak tahu. Hasilnya ialah nombor nyata, dan nombor nyata tidak mempunyai nombor berikutnya.

Tatatanda jujukan

Kita sudah tahu bahawa, secara ringkasnya, jujukan ialah deretan nombor yang bernombor mengikut tertib. Sekarang mari kita lihat bagaimana jujukan boleh ditulis. Jujukan biasanya dinamakan dengan huruf yang mempunyai subskrip, misalnya T_i.

Cara pertama ialah menyenaraikan semua nilai jujukan. Kita sudah melihat cara ini dalam bahagian sebelumnya. Senarai itu boleh terhingga atau tak terhingga:

$$\begin{array}{rcl}{T}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ T_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Catatan: Saya tidak pasti jenis kurungan yang lazim digunakan bagi jujukan kerana saya tidak menemukan konvensyen yang seragam. Saya tidak akan menggunakan kurungan kerinting kerana kurungan itu menandakan set, dan tertib unsur dalam set tidak penting, sedangkan tertib sebutan dalam jujukan penting.

Cara kedua ialah rumus bagi sebutan ke-n jujukan. Contohnya, jujukan T_n tadi mengandungi semua nombor genap. Jujukan ini boleh diungkapkan dengan rumus

$$T_n=2n.$$

Subskrip n menunjukkan sebutan ke berapa yang sedang kita hitung. Jadi, jika kita mahu mengetahui sebutan pertama, kita mencari T₁, dan jika sebutan ketujuh, kita mencari T₇. Sebutan ketujuh dihitung dengan menggantikan nilai itu ke dalam rumus.

$$T_7=2\cdot 7=14$$

Tatatanda ini mudah digunakan kerana sebarang sebutan jujukan dapat dihitung dengan serta-merta. Cara lain ialah menggunakan takrif rekursi. Takrif rekursi membolehkan kita menghitung sebutan berikutnya jika sebutan semasa diketahui. Dengan kata lain, jika kita mengetahui sebutan T_n, kita boleh menghitung sebutan T_{n + 1}.

Untuk mentakrifkan jujukan secara rekursi, kita perlu memberikan dua maklumat: sebutan pertama dan petua untuk menghitung sebutan ke-(n + 1). Jika kita mahu mentakrifkan jujukan nombor asli genap secara rekursi, kita boleh menulis:

$$T_1=2;T_{n+1}=T_n+2$$

Bagaimanakah kita menghitungnya? Kita tahu bahawa T₁ sama dengan dua. Sekarang kita gantikan n dengan satu, jadi T₂ diperoleh dengan menambahkan dua kepada T₁. Kita peroleh empat, iaitu nombor genap yang kedua. Begitulah seterusnya.

$$\begin{array}{rcl}{T}_1& =& 2\\ T_2& =& T_1+2(=4)\\ T_3& =& T_2+2(=6)\\ T_4& =& T_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Tatatanda rekursi sesuai apabila kita perlu menjana sebahagian besar jujukan. Sebaliknya, tatatanda ini tidak sesuai untuk menghitung sebutan tertentu. Untuk menghitung nombor genap yang keseratus, kita perlu menghitung dahulu kesemua 99 nombor genap yang mendahuluinya.

Cara terakhir ialah memberikan jujukan dalam bentuk graf.

Sebagai penjelasan: jujukan tidak semestinya mempunyai petua yang mudah, dan tidak semestinya deretan nombor yang “munasabah”. Deretan nombor berikut juga ialah jujukan, walaupun pada pandangan pertama tidak mempunyai makna yang lebih mendalam:

$$T_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Graf jujukan

Graf jujukan berbeza daripada graf fungsi nyata biasa. Oleh sebab domainnya ialah nombor asli, grafnya terdiri daripada titik-titik yang terasing.

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik ialah jujukan mudah yang beza antara sebutan-sebutannya tetap. Contohnya, setiap sebutan berikutnya lebih besar sebanyak tiga atau lebih kecil sebanyak tujuh belas. Beza antara sebutan-sebutan jujukan ini dipanggil beza sepunya (ditandakan d). Dalam kes pertama, beza sepunya ialah tiga, dalam kes kedua negatif tujuh belas, dan bagi jujukan nombor genap, beza sepunya ialah dua. Maka, janjang aritmetik boleh ditulis dengan rumus berikut:

$$T_{n+1}=T_n+d$$

Rumus am bagi sebutan ke-n janjang aritmetik pula ialah

$$T_n=T_1+(n-1)d.$$

Sebagai contoh, kita ambil sekali lagi nombor genap. Beza sepunyanya ialah dua, dan nombor genap yang pertama juga dua. Nombor genap yang kedua diperoleh dengan menambahkan dua kepada nombor yang pertama. Jika kita menambahkan dua sekali lagi, kita memperoleh nombor genap yang ketiga.

$$\begin{array}{rcl}{T}_1& =& 2\\ T_2& =& T_1+2(=4)\\ T_3& =& T_2+2(=6)\\ T_4& =& T_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Jika kita mahu menghitung nombor genap yang ketujuh, kita gantikan nilai-nilai ke dalam rumus am seperti berikut:

$$T_n=T_1+(n-1)d\to T_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Bagaimanakah kita menentukan sama ada suatu jujukan ialah janjang aritmetik? Tolak rumus bagi sebutan ke-n daripada rumus bagi sebutan ke-(n + 1). Jika hasilnya ialah beza sepunya (nombor tetap), jujukan itu ialah janjang aritmetik. Contohnya, katakan kita mempunyai jujukan

$$T_n=2n+7.$$

Adakah jujukan ini janjang aritmetik? Mula-mula, kita ungkapkan sebutan ke-(n + 1):

$$T_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Kemudian kita tolak kedua-dua ungkapan ini:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Selepas penolakan, kita memperoleh d = 2. Maka, jujukan ini ialah janjang aritmetik dengan beza sepunya dua.

Hasil tambah sebutan janjang aritmetik

Kita sering perlu mencari hasil tambah beberapa sebutan pertama janjang aritmetik. Bagaimanakah kita melakukannya? Secara intuitif, mungkin seperti berikut. Kita gunakan nombor genap sekali lagi. Berapakah hasil tambah tiga nombor genap yang pertama, iaitu 2, 4 dan 6? Sudah tentu kita boleh menambahkannya satu demi satu, tetapi kita mahukan rumus.

Kita ubah jujukan ini seperti berikut: tambahkan dua kepada sebutan pertama dan tolak dua daripada sebutan terakhir. Kita peroleh 4, 4, 4. Kini terdapat tiga nombor yang sama, jadi kita hanya perlu mendarab empat dengan bilangan sebutan, iaitu tiga. Maka, 4 · 3 = 12.

Bagi lima sebutan, kita ada 2, 4, 6, 8, 10. Kita tambahkan empat kepada sebutan hujung yang pertama dan tolak empat daripada sebutan hujung yang terakhir, kemudian lakukan perkara yang sama dengan dua bagi sebutan kedua dan sebutan kedua terakhir.

$$\begin{array}{rcl}{T}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ T_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Sekali lagi, kita hanya perlu mendarab 6 · 5 = 30. Apakah yang kita perhatikan? Kita sentiasa mendarab bilangan sebutan jujukan dengan sebutan tengah jujukan. Dalam jujukan 2, 4, 6, sebutan tengahnya ialah empat, dan dalam jujukan 2, 4, 6, 8, 10, sebutan tengahnya ialah 6. Bagaimanakah kita mencari sebutan tengah (katakan p) secara am? Sebutan tengah ialah min bagi sebutan pertama dan sebutan terakhir jujukan, iaitu

$$p=\frac{T_1+T_n}{2}$$

Contohnya, bagi jujukan kedua tadi

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Rumus akhir bagi hasil tambah n sebutan pertama jujukan T_n ialah:

$$S_n=n\cdot \frac{T_1+T_n}{2}$$

Rumus ini juga benar bagi bilangan sebutan yang genap, walaupun dalam penerangan tadi kita hanya menggunakan bilangan sebutan yang ganjil.

Cara mencari beza sepunya

Bagaimanakah kita mencari beza sepunya jika dua sebutan jujukan diketahui? Kita gunakan nombor genap lagi. Katakan kita mengetahui dua sebutan jujukan berikut:

$$T_3=6,T_7=14.$$

Bagaimanakah kita menghitung beza sepunya? Mula-mula, hitung beza antara kedua-dua sebutan ini:

$$T_7-T_3=14-6=8$$

Kemudian bahagikan hasil ini dengan bilangan langkah antara kedua-dua sebutan yang diketahui, iaitu beza antara indeksnya:

$$\frac{T_7-T_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Beza sepunya ialah dua. Rumus akhir bagi beza sepunya d jika sebutan T_k dan T_l diketahui ialah:

$$d=\frac{T_l-T_k}{l-k}$$

Graf janjang aritmetik menunjukkan pertambahan atau pengurangan yang tetap. Titik-titik terasing pada grafnya terletak pada satu garis lurus.

Janjang geometri

Janjang geometri berbeza daripada janjang aritmetik kerana dua sebutan bersebelahan tidak mempunyai beza yang sama, tetapi nisbah yang sama. Nisbah ini tidak dipanggil beza sepunya seperti dalam janjang aritmetik, tetapi nisbah sepunya (ditandakan r). Contohnya, kita boleh mempunyai jujukan dengan r = 10 dan sebutan pertama 5:

$$\begin{array}{rcl}{T}_1& =& 5\\ T_2& =& T_1\cdot 10(=50)\\ T_3& =& T_2\cdot 10(=500)\\ T_4& =& T_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Secara am, rumus berikut berlaku:

$$T_{n+1}=T_n\cdot r$$

Rumus bagi sebutan am janjang geometri ialah:

$$T_n=T_1\cdot r^{n-1}$$

Contohnya, sebutan ketiga jujukan tadi dihitung seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}{T}_3& =& T_1\cdot r^{3-1}\\ T_3& =& 5\cdot r^2\\ T_3& =& 5\cdot {10}^2\\ T_3& =& 500\end{array}$$

Janjang geometri boleh dibahagikan lagi kepada dua kumpulan mengikut nisbah sepunyanya. Jika nilai mutlak nisbah sepunya kurang daripada satu, seluruh jujukan menghampiri sifar. Jujukan seperti ini dipanggil jujukan menumpu. Sebaliknya, jika nilai mutlak nisbah sepunya sekurang-kurangnya satu, jujukan tidak menghampiri sifar dan dipanggil jujukan mencapah. Bagi jujukan menumpu, terdapat rumus mudah untuk hasil tambah seluruh siri (rumus ini hanya benar bagi jujukan menumpu kerana jujukan mencapah tidak mempunyai hasil tambah yang terhingga):

$$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{T_1}{1-r}.$$

Rumus bagi hasil tambah i sebutan pertama janjang geometri T_n:

$$S_i=T_1\cdot \frac{r^i-1}{r-1}$$

Cara rumus ini diperoleh boleh dibaca di Wikipedia.

Kecuali apabila nisbah sepunya sama dengan satu atau sifar, graf janjang geometri ialah set titik terasing yang tidak terletak pada satu garis lurus. Graf janjang geometri yang biasa kelihatan seperti berikut:

Jika nisbah sepunya negatif, graf itu mempunyai dua cabang: