Hasil darab vektor

Hasil darab vektor ialah operasi antara dua vektor dalam ruang yang menghasilkan vektor baharu yang serenjang dengan kedua-dua vektor itu.

Apakah hasil darab vektor

Hasil darab vektor ditakrifkan antara dua vektor dan hanya dalam ruang. Berbeza dengan hasil darab skalar, hasil darab vektor sekali lagi ialah vektor. Hasil darab vektor bagi vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ialah vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ yang mempunyai sifat berikut:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \sin \alpha ,$$

dengan α ialah sudut antara vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Selain itu, vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ serenjang dengan kedua-dua vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Arahnya ditentukan oleh petua tangan kanan. Untuk membezakan hasil darab vektor daripada hasil darab skalar, kita menggunakan tanda × bagi hasil darab vektor: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Oleh itu, hasil darab ini juga dipanggil hasil darab silang.

Gambar rajah menunjukkan satu kemungkinan hasil darab vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Hasilnya ialah vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ yang serenjang dengan kedua-dua vektor. Kita berada dalam ruang, jadi vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ terletak pada satu satah, manakala vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ serenjang dengan satah itu.

Jika satu vektor ialah gabungan linear vektor yang satu lagi, hasil darab vektornya ialah vektor sifar. Kes ini berlaku apabila kedua-dua vektor terletak pada garis lurus yang sama. Jika sekurang-kurangnya satu vektor ialah vektor sifar, hasil darabnya juga vektor sifar.

Cara mencari komponen vektor hasil darab

Setakat ini kita boleh mengira magnitud dan arah vektor yang terhasil. Namun, lebih praktikal jika kita mengetahui terus komponen vektor tersebut. Rumusnya seperti berikut:

$$u\times v=(u_2{v}_3-v_2{u}_3,u_3{v}_1-v_3{u}_1,u_1{v}_2-v_1{u}_2)$$

Rumus ini agak sukar diingat, jadi terdapat satu kaedah bantuan untuk mengingatnya:

Dengan jadual ini, vektor mudah didarab. Contoh: diberi vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(4,0,0)$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(0,5,0)$. Kedua-dua vektor ini terletak sepenuhnya pada paksi-x dan paksi-y masing-masing. Hasil darab vektornya ialah:

$$\begin{array}{cccccccc}\overrightarrow{\mathbf{u}}& 0& & 0& & 4& & 0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& 5& & 0& & 0& & 5\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& & 0& & 0& & 20\end{array}$$

Vektor hasil darab $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ mempunyai komponen (0, 0, 20). Kita boleh menyemak kebenaran hasil ini dengan takrif pertama, iaitu

$$|w|=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha ,$$

Magnitud vektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ ialah 20. Menurut rumus, mesti berlaku:

$$20=|u|\cdot |v|\cdot \sin \alpha$$

Kita gantikan nilai:

$$20=4\cdot 5\cdot \sin {90}^{\circ }=20\cdot 1=20.$$

Kegunaannya

Jelas sekali, hasil darab vektor membolehkan kita mencari vektor yang serenjang dengan dua vektor lain. Kita boleh menyemak perkara ini dengan hasil darab skalar, yang mesti bernilai sifar. Semakan bagi contoh tadi:

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 4\cdot 0+0+0\cdot 20=0\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}& =& 0+5\cdot 0+0\cdot 20=0\end{array}$$

Satu lagi kegunaan ialah mengira luas segi empat selari dalam ruang. Jika segi empat selari ABCD terletak dalam ruang, dan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ dibentuk oleh sisi AB dan AD, luas segi empat selari itu ialah $L=|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$. Bagi segi tiga ABC dalam ruang dengan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ yang dibentuk oleh sisi AB dan AC, luasnya ialah $L=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}|$.

Contoh: hitung luas segi tiga dalam ruang dengan bucu A(1, 0, 3), B(5, 6, 8) dan C(3, 5, 4).

Pertama sekali, kita tentukan vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

$$\begin{array}{rcl}u& =& B-A=(4,6,5)\\ v& =& C-A=(2,5,1)\end{array}$$

Seterusnya, kita kira hasil darab vektornya:

$$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-19,6,8)$$

Kemudian magnitudnya:

$$|\overrightarrow{\mathbf{w}}|=\sqrt{(-19{)}^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx 21.47$$

Akhir sekali, kita bahagikan hasil ini dengan dua:

$$L(\mathrm{△}ABC)=\frac{21.47}{2}=10.735$$