Hasil darab skalar

Hasil darab skalar ditakrifkan antara dua vektor dan menghubungkan magnitud vektor dengan sudut di antaranya.

Hasil darab skalar

Hasil darab skalar ditakrifkan antara dua vektor. Hasil darab ini ditandakan seperti pendaraban biasa, iaitu dengan titik di tengah: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Oleh itu, hasil darab skalar juga dipanggil hasil darab bintik. Hasilnya ialah nombor nyata, bukan vektor. Bagi dua vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$, hasil darab skalarnya ialah:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Jika sekurang-kurangnya satu daripada vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ialah vektor sifar, hasil darabnya ditakrifkan seperti berikut:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

Apakah maksud geometri hasil darab skalar? Hasil darab skalar dua vektor juga memenuhi

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \mathrm{kos}\alpha ,$$

dengan α ialah saiz sudut antara kedua-dua vektor. Rumus ini memberi kita cara mudah untuk mencari saiz sudut antara dua vektor. Jika kita jadikan kosinus perkara rumus, kita peroleh:

$$\mathrm{kos}\alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Rumus ini berlaku pada satah. Dalam ruang, kita perlu menambah satu lagi dimensi. Sekarang kita boleh melukis maksud geometri hasil darab skalar.

Jika hasil darab skalar vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ dibahagi dengan panjang vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, kita peroleh panjang tembereng garis AD. Panjang ini ialah magnitud unjuran vektor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ pada arah vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Menguji sudut tegak

Hasil darab skalar boleh digunakan untuk menguji sama ada sudut antara dua vektor sama dengan 90°. Bilakah hasil darab skalar sama dengan sifar? Lihat semula rumusnya…

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \mathrm{kos}\alpha$$

… dan kita dapati bahawa hasil darab $|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|$ sentiasa bukan sifar (sudut antara vektor sifar tidak ditakrifkan, jadi di sini kita hanya membincangkan vektor bukan sifar). Magnitud vektor sentiasa positif, begitu juga hasil darabnya. Satu-satunya faktor yang boleh menjadikan seluruh ungkapan sifar ialah kosinus. Bilakah kosinus sama dengan sifar? Apabila sudutnya 90° (atau 270° — tetapi dalam kes itu sudut tegak berada di sebelah yang satu lagi). Oleh itu, dua vektor membentuk sudut tegak jika dan hanya jika hasil darab skalarnya sifar.

Contoh: diberi tiga vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(-2,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(2,1),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(1,4)$. Vektor yang manakah saling serenjang? Kita kira hasil darab skalar setiap pasangan vektor:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Menurut hasil darab skalar, sudut tegak hanya terdapat antara vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$. Lihat gambar rajah vektor-vektor ini:

Mari kita juga mengira sudut antara vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ dan ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$. Kita hanya perlu menggantikan nilai ke dalam rumus:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{kos}\alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{18.439}\end{array}$$

Dengan mengira kosinus songsang, kita peroleh saiz sudut. Hasilnya ialah sudut lebih kurang 40°.