Operasi vektor

Kita boleh melakukan operasi asas pada vektor, misalnya penambahan dan pendaraban.

Penambahan vektor

Untuk menambah dua vektor, kita lukis kedua-duanya bermula dari asalan sistem koordinat, kemudian lengkapkan rajah itu menjadi segi empat selari. Pepenjuru yang bermula di asalan ialah vektor paduan. Gambar rajah berikut menunjukkan caranya:

Secara analitik, hasil tambah vektor ialah hasil tambah komponen yang sepadan. Jadi, jika anda mempunyai dua vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$, hasil tambah $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ialah

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$$

Bagi vektor dalam gambar rajah, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$ dan $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(4,1)$. Hasil tambahnya ialah $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2+4,4+1)=(6,5)$. Komponen ini sepadan dengan titik D.

Menolak vektor sama seperti menambah vektor negatifnya. Secara analitik:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}-\overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1-v_1,u_2-v_2)$$

Jika vektor yang ditambah terletak pada garis lurus yang sama dan searah, vektor paduan hanya menjadi lebih panjang. Jika arahnya bertentangan, magnitudnya ditolak. Gambar rajah berikut menunjukkannya dengan lebih jelas:

Penambahan vektor mematuhi hukum kalis tukar tertib dan hukum kalis sekutuan. Terdapat vektor $\overrightarrow{\mathbf{0}}$, yang dipanggil vektor sifar, dengan $\overrightarrow{\mathbf{u}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$, sama seperti sifar bagi nombor. Bagi setiap vektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, terdapat vektor negatif $-\overrightarrow{\mathbf{u}}$ dengan $\overrightarrow{\mathbf{u}}+(-\overrightarrow{\mathbf{u}})=\overrightarrow{\mathbf{0}}$.

Pendaraban vektor dengan skalar

Jika anda mendarab vektor dengan nombor nyata k, anda hanya perlu mendarab kedua-dua komponennya dengan k. Secara geometri, vektor itu “dipanjangkan” atau “dipendekkan”, dan arahnya diterbalikkan jika k negatif.

Daripada gambar rajah, kita lihat bahawa apabila vektor u didarab dengan nombor k:

• Jika nilai mutlak k kurang daripada satu, vektor menjadi lebih pendek.
• Jika nilai mutlak k lebih besar daripada satu, vektor menjadi lebih panjang.
• Jika k negatif, arah vektor menjadi bertentangan.

Gabungan linear vektor

Dalam algebra linear, kita sering menggunakan gabungan linear vektor. Jika kita mempunyai vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3,\dots$, gabungan linear vektor-vektor ini ialah

• gandaan k salah satu vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$,
• hasil tambah sebarang dua atau lebih vektor,
• gabungan kedua-duanya — kita boleh menambah gandaan k_n bagi sebarang vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$.

Jika kita mempunyai vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2,\dots ,{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$, vektor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ialah gabungan linear vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n$ jika

$$\overrightarrow{\mathbf{v}}=c_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1+c_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2+\dots +c_n\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_n;c_i\in \mathbb{R}$$

Perhatikan bahawa pekali c_i ialah nombor nyata. Jadi, kita boleh memilih sifar sebagai pekali, dan vektor yang berkenaan langsung tidak muncul dalam hasil tambah. Contoh: diberi vektor ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(1,3),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(0,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(7,2)$. Berikut ialah beberapa gabungan linear yang mungkin:

$$\begin{array}{rcl}(8,9)& =& 1\cdot (1,3)+1\cdot (0,4)+1\cdot (7,2)\\ (22,17)& =& 1\cdot (1,3)+2(0,4)+3(7,2)\\ (68,38)& =& -2(1,3)+6(0,4)+10(7,2)\\ (-\frac{1}{2},-\frac{43}{2})& =& -\frac{1}{2}(1,3)-5(0,4)+0(7,2)\end{array}$$